Integral und Substitution

04.03.2014, 15:58

Jade93

Integral und Substitution

Meine Frage:
hallo allerseits! Ich komme ab einem bestimmten Punkt einfach nicht weiter mit der Substitution, also bei der Durchführung der Integralrechnung!

Meine Ideen:
Ich habe hier folgendes Integral:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x^8}{x^3+1} dx \end{eqnarray*}$

Ich habe den Nenner als Substituenten gewählt: $\begin{eqnarray*} u=x^3+1 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} dx = \frac{du}{3x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! (\frac{3x^8}{x^3+1} ) \, dx = \int \! (\frac{3x^8}{u}*\frac{du}{3x^2} )= \int \! (\frac{3x^2*x^6}{u}*\frac{du}{3x^2} )= \int \! (\frac{x^6}{u})du \end{eqnarray*}$

Ab hier komm ich einfach nicht weiter.. hat jemand Tipps wie ich das Integral "leicht" berechnen kann?

04.03.2014, 16:01

klarsoweit

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RE: wie geht es weiter? (Integral/Substitution)
Was soll denn das f() im Integral? verwirrt

Du mußt jetzt nur noch das x^6 mittels der Substitution ersetzen. Augenzwinkern

04.03.2014, 16:02

Che Netzer

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RE: wie geht es weiter? (Integral/Substitution)

Zitat:

Original von Jade93
Ich habe hier folgendes Integral:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x^8}{x^3+1} dx \end{eqnarray*}$

Das ist kein Integral.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int \! f(\frac{3x^8}{x^3+1} ) \, dx = \int \! f(\frac{3x^8}{u}*\frac{du}{3x^2} )= \int \! f(\frac{3x^2*x^6}{u}*\frac{du}{3x^2} )= \int \! (\frac{x^6}{u})du \end{eqnarray*}$

Was soll denn dieses $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hier?
Jedenfalls solltest du jetzt $\begin{eqnarray*} x^6 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ausdrücken.

04.03.2014, 16:03

Jade93

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RE: wie geht es weiter? (Integral/Substitution)
Das Integral enthält ja noch die alte Variable x.. die muss ich doch irgendwie durch u ausdrücken. Wie? geschockt

Jaaa, dann steht da halt f (hab ich inzwischen weggemacht). Da macht ja der Editor automatisch das f hin...
EDIT: u ist ja $\begin{eqnarray*} x^3+1 \end{eqnarray*}$
Ich will ja das $\begin{eqnarray*} x^6 \end{eqnarray*}$ weg kriegen oder? Wie mache ich das jetzt rechnerisch?

04.03.2014, 16:39

Anxiös

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RE: wie geht es weiter? (Integral/Substitution)
$\begin{eqnarray*} \dots =\int \! \frac{x^6}{u} \, \mathrm du \end{eqnarray*}$ gut!

Du hast durch die Substitution die Gleichung $\begin{eqnarray*} u=x^3+1 \end{eqnarray*}$

Löse diese nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf.

Che Netzer ist wieder on, damit gehört die Bühne wieder dir smile

04.03.2014, 16:49

Jade93

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RE: wie geht es weiter? (Integral/Substitution)
$\begin{eqnarray*} u - 1 =x^3 \end{eqnarray*}$
und weiter? Ich habe ja $\begin{eqnarray*} x^6 \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$

04.03.2014, 16:52

Che Netzer

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RE: wie geht es weiter? (Integral/Substitution)
Gut, dann mache ich also weiter.
Wenn du $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ kennst, wie kannst du denn daraus $\begin{eqnarray*} x^6 \end{eqnarray*}$ erhalten?

04.03.2014, 16:52

Anxiös

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RE: wie geht es weiter? (Integral/Substitution)
***

sry, das wechelt aber auch sehr schnell, das on und off. Bin weg Wink

04.03.2014, 17:02

Jade93

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RE: wie geht es weiter? (Integral/Substitution)
ühmmm... $\begin{eqnarray*} x^{a} * x^{b} = x^{a+b} \end{eqnarray*}$
also nochmal $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ drauf

04.03.2014, 17:05

Che Netzer

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RE: wie geht es weiter? (Integral/Substitution)
Ja, du multiplizierst also beide Seiten von $\begin{eqnarray*} x^3=u-1 \end{eqnarray*}$ mit sich selbst. Was erhältst du dann für $\begin{eqnarray*} x^6 \end{eqnarray*}$ ?

04.03.2014, 17:07

Jade93

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RE: wie geht es weiter? (Integral/Substitution)
$\begin{eqnarray*} x^6 = 2(u-1) \end{eqnarray*}$
oder $\begin{eqnarray*} (u-1)^2 \end{eqnarray*}$
Bin mir da nicht mehr so sicher...
oder doch! $\begin{eqnarray*} x^6 = (u-1)^2 = u^2-2u+1 \end{eqnarray*}$

04.03.2014, 17:10

Che Netzer

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RE: wie geht es weiter? (Integral/Substitution)
Ja, $\begin{eqnarray*} x^6=(u-1)^2 \end{eqnarray*}$ . (solche Umformungen solltest du ggf. nochmal üben)
Das kannst du jetzt in deinem Integranden einsetzen.

04.03.2014, 17:16

Jade93

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bämbämbäm...
$\begin{eqnarray*} \frac{u^2-2u+1}{u} = (u-2+\frac{1}{u}) du= \frac{1}{2}u^{2} - 2u + ln(u) + C \end{eqnarray*}$
SO genug Internet für heute.. mit dem Editor zu arbeiten macht echt fertig Big Laugh

04.03.2014, 17:18

Che Netzer

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Es würden nur noch Integralzeichen und links ein $\begin{eqnarray*} \dd u \end{eqnarray*}$ fehlen.

04.03.2014, 17:20

Jade93

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ja und dann noch außerdem die Rücksubstitution. Der Rest sollte jetzt aber ein Kinderspiel sein.
Danke smile

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