Komplexe Zahlen: Re(z) & Im(z) bestimmen mit Potenzen

04.03.2014, 17:46

AnnaFelicia

Komplexe Zahlen: Re(z) & Im(z) bestimmen mit Potenzen

Hallo,
(mir ist leider kein besserer Titel eingefallen).

Also folgende Aufgabe: Bestimmen Sie den Real- & Imaginärteil von
$\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{2} *i)^3 \end{eqnarray*}$

Mein(e) Ansatz/Ansätze:
Binomische Formel auflösen:
$\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{2} *i)^3=1+3\sqrt{2}i+3(i\sqrt{2})^2+(i\sqrt{2}^3<br /> =1+3\sqrt{2}i+3*(-1)*2+(-1)*2*i*\sqrt{2}<br /> =-5+2\sqrt{2}i \end{eqnarray*}$

irgendwie traue ich dem ganzen aber nicht soooo..

2. Ansatz (ich dachte, ich könnte es in Polarkoordinatenform umschreiben. )
also in: $\begin{eqnarray*} z^3=r*e^{i\alpha \pi } \end{eqnarray*}$
und dann die dritte Wurzel ziehen?? Ehmmm..? bin mir bei der Variante aber noch unsicherer und da wir das ohne Taschenrechner machen sollen, frage ich mich, wie ich auf den Winkel kommen soll, wenn $\begin{eqnarray*} cos(\alpha )=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ist.

ich glaube, ich habe mich eher voll verwirren lassen und brauche jetzt ein wenig Klarheit. Danke schon mal im Vorraus smile

04.03.2014, 18:01

Leopold

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RE: Komplexe Zahlen: Re(z) & Im(z) bestimmen mit Potenzen

Zitat:

Original von AnnaFelicia
$\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{2} *i)^3=1+3\sqrt{2}i+3(i\sqrt{2})^2+(i\sqrt{2}^3<br /> =1+3\sqrt{2}i+3*(-1)*2+(-1)*2*i*\sqrt{2}<br /> =-5+\color{red} 2 \color{black} \sqrt{2}i \end{eqnarray*}$

Fast richtig.

04.03.2014, 18:09

AnnaFelicia

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okay, das stimmt. Vielen Dank

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