Gesucht: Matrix zur Spiegelung an einer Geraden

04.03.2014, 18:36

AnnaFelicia

Gesucht: Matrix zur Spiegelung an einer Geraden

Hallo zusammen,

ich brauche hier wohl Hilfe:

Aufgabe: Die Gerade G sei durch die Gleichung 2x-3y=0 gegeben. Berechnen Sie die Matrix der Spiegelung an G bezüglich
a) einer Basis aus Eigenvektoren
b) der Basis B=(v1,v2) mit v1= (2/-1) und v2=(1/2)

Ich habe wirklich nicht mal einen Ansatz. unglücklich

Ich habe in einer anderen Aufgabe schon mal eine allg Matrix aufgestellt, die eine Spiegelung an der Gerade beschreibt, wo dann aber ein Winkel angeben ist.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos2\alpha & sin2\alpha \\ sin2\alpha & -cos2\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber ich habe keine Ahnung, wie ich hier vorgehen kann.
Ich habe 2x-3y=0 nach y umgeformt => y=2/3x, dann weiß ich zumindest schon mal, dass die Gerade durch den Nullpunkt geht verwirrt

und jetzt

- bitte um Hilfe

04.03.2014, 18:45

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist ein eindimensionaler Unterraum, der von $\begin{eqnarray*} u_1=(3|2) \end{eqnarray*}$ erzeugt wird. Beim Spiegeln an $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ auf sich selbst abgebildet und ist daher ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt besorge dir einen Vektor $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ , der orthogonal zu $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ ist. Der wird beim Spiegeln auf seinen Gegenvektor abgebildet und ist damit ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ . Wie sieht dann die beschreibende Matrix der Spiegelung bezüglich $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ aus?

05.03.2014, 11:12

AnnaFelicia

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
sorry, dass ich erst heute antworte. Ich hoffe, ich bekomme trotzdem noch etwas Hilfe.

Erstmal dankeschön, für die geometrische Erklärung. Habe zwar eine Weile gebraucht, um da hinter zu steigen Augenzwinkern

, aber das war mir gar nicht so bewusst, dass man sich das so gut vorstellen kann. Das wird mir bestimmt auch bei anderen Aufgaben weiterhelfen. Freude

Die Matrix ist dann also $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Ich nenne diese Matrix mal B.

Damit ist a) schon erledigt?? Juhuu

In b) beschleicht mich das Gefühl ich muss einen Basiswechsel machen.
Die Matrix lautet dann $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
(Diese nenne ich dann A)

Dann mache ich einen Basiswechsel indem ich
$\begin{eqnarray*} B^{-1} A B = (\begin{vmatrix} 9/39 & 6/39 \\ 2/13 & -3/13 \end{vmatrix}*\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}) *\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -3 \end{vmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$
Ich habe mir auch überlegt, dass die Matrix B ja eigentlich auch eine symmetrische Matrix sein müsste, oder? Dann würde ja die Inverse=Die Transponierte gelten, aber damit habe ich dann doch nicht gerechnet.

05.03.2014, 11:23

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von AnnaFelicia
Die Matrix ist dann also $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Ich nenne diese Matrix mal B.

Damit ist a) schon erledigt?? Juhuu

Das stimmt nicht.

Erstens: Matrizen bekommen Klammern, keine senkrechten Schritte, in LATEX: \begin{pmatrix} ... \end{pmatrix}. Determinanten von Matrizen dagegen bekommen senkrechte Striche.

Zweitens: Du hast einfach die beiden Eigenvektoren (die stimmen übrigens) als Spalten der Spiegelungsmatrix genommen. Das geht aber nicht. Ich nenne die Spiegelung an $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ einmal $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ . Du mußt nun die Bilder der Basis, also $\begin{eqnarray*} \sigma(u_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma(u_2) \end{eqnarray*}$ als Linearkombinationen von $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sigma(u_1) = b_{11} u_1 + b_{21} u_2 \, , \ \ \sigma(u_2) = b_{12} u_1 + b_{22} u_2 \end{eqnarray*}$

Dann sind die $\begin{eqnarray*} b_{ij} \end{eqnarray*}$ die Elemente deiner Matrix. Und die sieht hier ganz einfach aus.

05.03.2014, 12:03

AnnaFelicia

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke für die schnelle Antwort
Das mit den Strichen, statt Klammern ist mir am Ende meines Beitrages auch aufgefallen. Ich habe mich wohl am Anfang verklickt und dann mit "Copy und Paste" die Sache durch meinen ganzen Beitrag geschleppt. Am Ende dachte ich mir nur: "Ach egal, man versteht mich schon".. sorry

Ich verstehe aber nicht ganz, wie ich jetzt auf die Bilder der Basis kommen soll.
Ich habe die Matrix aus den Eigenvektoren. Soweit so gut.

Muss ich jetzt doch wieder mit der allg. Matrix für Spiegelungen an Ursprungsgeraden arbeiten? $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos2\alpha & sin2\alpha \\ sin2\alpha & -cos2\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mir fehlt irgendwie das Verständnis für Spiegelungen - Drehungen sich so viel einfacher unglücklich

. Ich schmeiße immer alles durcheinander.
Was muss ich jetzt genau für die Spiegelung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ nehmen?

05.03.2014, 12:07

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von AnnaFelicia
Ich verstehe aber nicht ganz, wie ich jetzt auf die Bilder der Basis kommen soll.
Ich habe die Matrix aus den Eigenvektoren. Soweit so gut.

Diese Frage habe ich bereits beantwortet:

Zitat:

Original von Leopold
Ich nenne die Spiegelung an $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ einmal $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ . Du mußt nun die Bilder der Basis, also $\begin{eqnarray*} \sigma(u_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma(u_2) \end{eqnarray*}$ als Linearkombinationen von $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sigma(u_1) = b_{11} u_1 + b_{21} u_2 \, , \ \ \sigma(u_2) = b_{12} u_1 + b_{22} u_2 \end{eqnarray*}$

Dann sind die $\begin{eqnarray*} b_{ij} \end{eqnarray*}$ die Elemente deiner Matrix. Und die sieht hier ganz einfach aus.

05.03.2014, 12:14

AnnaFelicia

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber ich verstehe das immer noch nicht. traurig

Wo kommen denn jetzt Vektoren $\begin{eqnarray*} b_{1} & b_{2} \end{eqnarray*}$ her?

Ich muss total auf dem Schlauch stehen, ich komme mir ja selber schon mega dämlich vor.

05.03.2014, 12:30

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von AnnaFelicia
Wo kommen denn jetzt Vektoren $\begin{eqnarray*} b_{1} & b_{2} \end{eqnarray*}$ her?

Die $\begin{eqnarray*} b_{ij} \end{eqnarray*}$ sind Skalare! Jeder Vektor kann in eindeutiger Weise als Linearkombination bezüglich einer Basis geschrieben werden, also auch der Vektor $\begin{eqnarray*} \sigma(u_1) \end{eqnarray*}$ .

Das ist doch das erste, was man bei Matrizen, die lineare Abbildungen beschreiben, lernt:

In der ersten Spalte der Matrix stehen die Koeffizienten der Linearkombination des Bildes des ersten Basisvektors.
In der zweiten Spalte der Matrix stehen die Koeffizienten der Linearkombination des Bildes des zweiten Basisvektors.
In der dritten Spalte der Matrix stehen die Koeffizienten der Linearkombination des Bildes des dritten Basisvektors.
...
In der n-ten Spalte der Matrix stehen die Koeffizienten der Linearkombination des Bildes des n-ten Basisvektors.

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\sigma(u_1)}_{\text{Bild des ersten Basisvektors}} = \underbrace{b_{11} \cdot u_1 + b_{21} \cdot u_2}_{\text{Linearkombination bezgl. der Basis} \ u_1,u_2} \end{eqnarray*}$

Jetzt gib bitte die Skalare $\begin{eqnarray*} b_{11} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{21} \end{eqnarray*}$ an, denn schließlich kennst du ja $\begin{eqnarray*} \sigma(u_1) \end{eqnarray*}$ gemäß Konstruktion. Es ist nichts mehr zu rechnen. Einfach angeben.

05.03.2014, 12:50

AnnaFelicia

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich versuch es mal irgendwie. Hammer

Irgendwie hab ich mich voll verhasbelt.

D.h. das quasi, dass ich das LGS von $\begin{eqnarray*} \sigma(u_1) = b_{11} u_1 + b_{21} u_2 \, \end{eqnarray*}$ so aufstelle: $\begin{eqnarray*} \sigma\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}=b_{11}*\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + b_{11}*\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und berechne?
(Das gleiche dann analog für $\begin{eqnarray*} \sigma(u_2) \end{eqnarray*}$ )

05.03.2014, 12:54

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst natürlich rechnen. Aber es wird dabei auch nichts anderes herauskommen, als was du schon weißt, weil du es ja gerade so eingerichtet hast:

Zitat:

Original von Leopold
Beim Spiegeln an $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ auf sich selbst abgebildet und ist daher ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt besorge dir einen Vektor $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ , der orthogonal zu $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ ist. Der wird beim Spiegeln auf seinen Gegenvektor abgebildet und ist damit ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ . Wie sieht dann die beschreibende Matrix der Spiegelung bezüglich $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ aus?

05.03.2014, 13:16

AnnaFelicia

Auf diesen Beitrag antworten »

boa ne, oder???

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ???

Ist das dann nicht einfach die Matrix, weil auf der Diagonalmatrix die Eigenwerte auf der Diagonalen stehen?

05.03.2014, 13:26

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das war's. Immer wenn man eine Basis aus Eigenvektoren hat, muß die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten sein.

Jetzt zum Aufgabenteil b).

Es seien $\begin{eqnarray*} B,S,T \end{eqnarray*}$ die folgenden Matrizen:

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Diagonalmatrix, die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ beschreibt
$\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ die Matrix, deren Spalten $\begin{eqnarray*} v_1,v_2 \end{eqnarray*}$ sind
$\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ die Matrix, deren Spalten $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ sind

Dann ist $\begin{eqnarray*} A = V^{-1}UBU^{-1}V \end{eqnarray*}$ die Matrix, die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} v_1,v_2 \end{eqnarray*}$ beschreibt. Das kannst du nun glauben oder auch nicht. Am besten vergißt du es für den Moment und gehst klassisch vor, um ein Gefühl für die Sache zu bekommen.

1. Schritt

Stelle $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination bezüglich $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ dar: $\begin{eqnarray*} v_1 = \alpha u_1 + \beta u_2 \end{eqnarray*}$
Das läuft auf ein lineares Gleichungssystem für $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ hinaus.

2. Schritt

Wenn du $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ kennst, kannst du auch $\begin{eqnarray*} \sigma(v_1) \end{eqnarray*}$ berechnen. Denn $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Abbildung:

$\begin{eqnarray*} \sigma(v_1) = \sigma(\alpha u_1 + \beta u_2) = \alpha \cdot \sigma(u_1) + \beta \cdot \sigma(u_2) \end{eqnarray*}$

Und die Bilder von $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ kennst du ja. Somit kennst du jetzt auch $\begin{eqnarray*} \sigma(v_1) \end{eqnarray*}$ .

3. Schritt

Jetzt stelle $\begin{eqnarray*} \sigma(v_1) \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} v_1,v_2 \end{eqnarray*}$ dar: $\begin{eqnarray*} \sigma(v_1) = \lambda v_1 + \mu v_2 \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu \end{eqnarray*}$ sind die Einträge in der ersten Spalte der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} v_1,v_2 \end{eqnarray*}$ beschreibt. (Zur Kontrolle die Ergebnisse: $\begin{eqnarray*} \lambda = - \frac{33}{65}, \mu = \frac{56}{65} \end{eqnarray*}$ )

Dann für die zweite Spalte der Matrix derselbe Vorgang mit $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ .

05.03.2014, 14:19

AnnaFelicia

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach man, ich gebe es auf. Ich mache irgendwelche Fehler beim Einsetzten unglücklich

Bei mir kommt für $\begin{eqnarray*} \lambda= 3/12 \mu=-2/13 \end{eqnarray*}$ raus..

oh man, was eine schwere Geburt, das kann doch nicht sooo schwer sein.

Neue Frage »

Antworten »

Gesucht: Matrix zur Spiegelung an einer Geraden

Verwandte Themen