Trigonometrie Additionstheoreme

04.03.2014, 20:51

eintopf

Trigonometrie Additionstheoreme

Moin moin, ich soll herausfinden, für welche $\begin{eqnarray*} x \in \left[0,2\pi\right] \end{eqnarray*}$ gilt:
Gegeben ist $\begin{eqnarray*} \sin(x) *\tan(\frac{x}{2})=1-\cos(2*x) \end{eqnarray*}$
Dies wird in der Lösung zu
$\begin{eqnarray*} 2*\sin(\frac{x}{2})*\cos(\frac{x}{2})*\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}=1-(1-2*\sin^2(x)) \end{eqnarray*}$
Das Umschreiben der Rechten Seite, sowie des Tangens verstehte ich, aber ich kann mir nicht erklären, warum aus
$\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} 2*\sin(\frac{x}{2})*\cos(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$ wird.
Hat da jemand eine Idee?

04.03.2014, 20:57

HAL 9000

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D.h. die Doppelwinkelformel für den Kosinus (rechts)

$\begin{eqnarray*} \cos(2x) = 1-2\sin^2(x) \end{eqnarray*}$

kennst du, die für den Sinus (links)

$\begin{eqnarray*} \sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) \end{eqnarray*}$

angewandt auf $\begin{eqnarray*} t=\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ aber nicht? verwirrt

04.03.2014, 21:07

eintopf

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Wir haben das nur als Additionstheorem kennengelernt.
Hat man dort etwa aus $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2}+\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ gemacht? Das wäre ja ziemlich banal.

04.03.2014, 21:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von eintopf
Das wäre ja ziemlich banal.

Offenbar dann doch nicht, sonst hättest du hier ja nicht fragen müssen. Augenzwinkern

04.03.2014, 21:26

Leopold

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Mathematik ist immer banal. Hinterher. Augenzwinkern

04.03.2014, 21:28

eintopf

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Ok, damit ich hier kein neues Thema aufmachen muss, schreibe ich meine nächste Frage hier rein.
Wie komme ich von $\begin{eqnarray*} 2*\cos^2(x)-3*\sin^2(x) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 2-5*\sin^2(x) \end{eqnarray*}$ ?

04.03.2014, 22:12

HAL 9000

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Das hier verwendete $\begin{eqnarray*} \cos^2(x) = 1-\sin^2(x) \end{eqnarray*}$ ist vermutlich auch eine Banalität? Augenzwinkern

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