Differentialrechnung für Kurven - Natürliche Darstellung

04.03.2014, 23:00	Robert93	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialrechnung für Kurven - Natürliche Darstellung Meine Frage: Hey Leute, sitze gerade an einer Aufgabe, bei der ich mehr oder weniger nur raten kann. Es geht um folgendes: Ermitteln Sie den Tangentenvektor an $\begin{eqnarray} \vec{r}(t) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \|\|\vec{r}(t)\|\|_{2} \end{eqnarray}$ . Welche Kurven liegen in natürlicher Darstellung vor? a) $\begin{eqnarray} \vec{r}(t)=\begin{pmatrix} sin(t) \\ cos(t)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \vec{r}(t)=t\begin{pmatrix}cos(t) \\ sin(t)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \vec{r}(t)=\begin{pmatrix} e^{t}sin(t) \\ e^{t}cos(t)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} \vec{r}(t)=\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1+4t \\ 2-3t\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Also zunächst einmal Tangentenvektor. Das erste was mir dazu einfiel ist die Tangentengleichung für Kurven: $\begin{eqnarray} \frac{\dot y(t_{0}) }{\dot x(t_{0}) }=(x-x(t_{0}))+y(t_{0} ) \end{eqnarray}$ Gefragt ist allerdings nach einem Tangentenvektor. Also habe ich einfach nur die x und y Koordinate abgeleitet: $\begin{eqnarray} \vec{r}(t)=\begin{pmatrix} cos(t) \\ -sin(t)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Betrag eines Vektors ist ja bekanntlich die Länge eines Vektors. Also habe ich den Betrag folgendermaßen berechnet: $\begin{eqnarray} \|\|\vec{r}(t)\|\|_{2} = \sqrt{cos²(t)+sin²(t)}= 1 \end{eqnarray}$ So die sache ist nur die, ich habe mehr oder weniger geraten und habe eigentlich keine Ahnung gehabt was ich da mache. Ist das möglich mir irgendwie zu erläutern? Und was ist mit der Frage gemeint: "Welche Kurven liegen in natürlicher Darstellung vor?" Was ist denn die natürliche Darstellung? Danke euch
05.03.2014, 11:47	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Tangentenvektor ergibt sich durch Ableiten der einzelnen Komponenten nach dem Kurvenparameter, also $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec r}{dt}=\begin{pmatrix} \tfrac{dx}{dt} \\ \tfrac{dy}{dt} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Interpretiert man die Kurve als die Flugbahn eines Insektes und den Parameter t als die Zeit, so ist der Tangentenvektor der momentane Geschwindigkeitsvektor des Insektes. -------------------- Eine natürliche Darstellung der Kurve liegt dann vor, wenn man als Kurvenparameter gerade die Bogenlänge s der Kurve wählt, welche man bekanntlich wie folgt berechnet $\begin{eqnarray} s=\int_0^t\sqrt{\left ( \tfrac{dx}{dt}\right )^2+\left ( \tfrac{dy}{dt}\right )^2}\,\,dt \end{eqnarray}$ Differenzieren dieser Gleichung nach t auf beiden Seiten ergibt $\begin{eqnarray} \tfrac{ds}{dt}=\sqrt{\left ( \tfrac{dx}{dt}\right )^2+\left ( \tfrac{dy}{dt}\right )^2} \end{eqnarray}$ Wenn der Parameter t gerade die Bogenlänge ist (s=t), so ergibt die linke Seite $\begin{eqnarray} \tfrac{ds}{dt}=1 \end{eqnarray}$ und man erhält das Kriterium, ob die natürliche Darstellung vorliegt oder nicht $\begin{eqnarray} 1=\sqrt{\left ( \tfrac{dx}{dt}\right )^2+\left ( \tfrac{dy}{dt}\right )^2} \end{eqnarray}$
06.03.2014, 22:50	Robert93	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, das hat mich etwas weiter gebracht Hab aber eine kurze Frage zu Aufgabenteil b) Habe meinen Tangentenvektor berechnet: $\begin{eqnarray} \vec{r}(t)=\begin{pmatrix} -sin(t)t+cos(t) \\ cos(t)t+sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ soweit so gut, aber wenn ich nun meinen Betrag berechnen will, bekomme ich folgendes: $\begin{eqnarray} \|\|\vec{r}\|\| _{2} =\sqrt{(-sin(t)t+cos(t))²+(cos(t)t+sin(t))²} \end{eqnarray}$ In der Lösung steht aber: $\begin{eqnarray} \|\|\vec{r}\|\| _{2} =\sqrt{t²+1} \end{eqnarray}$ Wie schaffe ich es von meiner Gleichung auf die angegebene Lösung zu kommen? Kann mir da jemand etwas auf die Sprünge helfen?^^ Danke euch
07.03.2014, 09:37	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wende unterder Wurzel die binomische Formel an $\begin{eqnarray} \sqrt{[-t\cdot\sin(t)+\cos(t)]^2+[t\cdot\cos(t)+\sin(t)]^2}=\sqrt{t^2\sin^2(t)-2t\sin(t)\cos(t)+\cos^2(t)+t^2\cos^2(t)+2t\sin(t)\cos(t)+\sin^2(t)} \end{eqnarray}$ Der 2. und 5.Summand heben sich gegenseitig auf. Mit der Formel sin²(t)+cos²(t)=1 folgt dann das Gewünschte.
07.03.2014, 22:52	Robert93	Auf diesen Beitrag antworten »
super, vielen Dank Hat echt geholfen

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