Dgl der Wärmeleitung Zylinderkoordinaten

05.03.2014, 00:26	Hirador	Auf diesen Beitrag antworten »
Dgl der Wärmeleitung Zylinderkoordinaten Meine Frage: Hallo, ich komme bei einer Aufgabe zur Wärmeübertragung nicht auf das Kontrollergebnis. Das Problem liegt vermutlich in der Lösung der Dgl. Gegeben ist ein dickwandiges Rohr mit dem Innenradius $\begin{eqnarray} r_i \end{eqnarray}$ , welches auf der Innenseite durch eine konstante Wärmestromdichte $\begin{eqnarray} \dot q_0 \end{eqnarray}$ beheizt und auf der Außenseite durch Konvektion ( $\begin{eqnarray} \alpha_u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T_u \end{eqnarray}$ ) abgekühlt. Gesucht ist die Gleichung der Temperaturverteilung des stationären und eindimensionalen Temperaturfeldes. Meine Ideen: Meine Rechnung hänge ich als Bild an. Mein Ansatz war zunächst einmal die Dgl der Wärmeleitung für Zylinderkoordinaten, welche ich mit Hilfe der Angaben (stationär, eindimensional gekürzt habe auf $\begin{eqnarray} 0 = \frac{1}{r} \frac{\partial} {\partial r}\left(r\frac{\partial T} {\partial r} \right) + \frac{\phi}{\lambda} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \phi=\frac{\dot Q}{V} \end{eqnarray}$ habe ich $\begin{eqnarray} \phi=\frac{2 \dot q_0}{r_i} \end{eqnarray}$ eingesetzt und die Randbedingungen habe ich so gewählt: RB1: $\begin{eqnarray} \dot q_0=- \lambda * \frac{\partial T} {\partial r}\|_{r=r_i} \end{eqnarray}$ RB2: $\begin{eqnarray} \alpha_u * \left(T(r=r_a) - T_u \right) = -\lambda * \frac{\partial T} {\partial r}\|_{r=r_a} \end{eqnarray}$ Damit komme ich auf ein Ergebnis von $\begin{eqnarray} T(r)=\frac{\dot q_0}{r_i} \left(\frac{r_a}{\alpha_u} + \frac{{r_a}^2 - r^2}{2 \lambda} \right) +T_u \end{eqnarray}$ Das Kontrollergebnis aber lautet $\begin{eqnarray} T(r)=\frac{\dot q_0 * r_i}{\lambda}\left(\frac{\lambda}{r_a * \alpha_u} + ln \frac{r_a} {r} \right) +T_u \end{eqnarray*}$ Jedoch weiß ich nicht, wie dieses Ergebnis zustande kommt, bzw was ich falsch gemacht habe. Über Tipps und Lösungsvorschläge würde ich mich sehr freuen. Probiere da schon ne Weile dran rum. Vielleicht klappt's morgen ja. Meine Rechnung ist wie schon erwähnt im Anhang Danke und schönen Gruß Hirador [attach]33449[/attach] [attach]33450[/attach]
05.03.2014, 11:06	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du schreibst, dass die Wärmelietungsgleichung lautet $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{r}(rT')'=-\tfrac{\Phi}{\lambda} \end{eqnarray}$ Dies würde bedeuten, dass sich im Rohr eine homogene Wärmequelle $\begin{eqnarray} \tfrac{\Phi}{\lambda} \end{eqnarray}$ befindet, welche innerhalb des Rohr-Materials homogen verteilt ist und dort Wärme produziert. Im Gegensatz dazu schreibst du, dass sich nur an der Innenseite des Rohres eine Wärmequelle befindet (also nur als Randbedingung). Ohne Wärmequelle innerhalb des Rohr-Materials würde die rechte Seite der obigen Dgl. verschwinden, also $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{r}(rT')'=0 \end{eqnarray}$ Welche Variante ist richtig.
05.03.2014, 15:02	Hirador	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich mir schon fast gedacht, dass ich beim Aufstellen der Gleichung einen Fehler gemacht habe... Ja klar, jetzt wo ich's so lese, erscheint mir das logisch. Da war mein Denkfehler, dass ich dachte das innere Volumenelement wäre quasi so ein Heizstab und das Rohr hätte somit eine innere Wärmequelle. (Hab scheinbar ein Talent dafür, Dinge komplizierter zu machen, als sie sind^^) Aber dass das nicht zur Aufgabe und dem Rest meiner Überlegung passt, merke ich jetzt erst. Dafür sind die Grundlagen bei mir noch nicht genug gefestigt... Dann werde ich es nochmal mit dem Ansatz versuchen. Schön, endlich weiter zu kommen mit der Aufgabe. Danke sehr!

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