Funktion umformen

05.03.2014, 01:38

Wiwiwi

Funktion umformen

Hallo,

ich habe folgende Funktion:

u(x1, x2) = $\begin{eqnarray*} x_{1} ^{a} \cdot x_{2} ^{1-a} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabenstellung ist hier von weniger Interesse, es geht mir um das rechnen. Es soll nach x1 partiell abgeleitet werden, als auch nach x2. Anschließend soll die partielle Abl. x1 durch partielle Abl. x2 geteilt und weitesgehend zusammengefasst/gekürzt werden.

Mein Ansatz(bitte drüberschauen smile

) :

Partielle Ableitung nach x1 ergibt:

$\begin{eqnarray*} a \cdot x_{1} ^{a-1} \cdot x_{2} ^{1-a} \end{eqnarray*}$

Partielle Ableitung nach x2 ergibt:

$\begin{eqnarray*} x_{1} ^{a} \cdot (1-a)\cdot x_{2} ^{-a} \end{eqnarray*}$

Nun soll partielle Abl. x1 durch partielle Abl. x2 geteilt werden, sprich:

$\begin{eqnarray*} \frac{a \cdot x_{1} ^{a-1} \cdot x_{2} ^{1-a}}{x_{1} ^{a} \cdot (1-a)\cdot x_{2} ^{-a}} \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------

Optimalerweise(!) kürze ich so viel wie nur möglich weg, so dass lediglich x2/x1 übrig bleibt.

Mein Ansatz:

Umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac{a \cdot x_{1} ^{a-1} \cdot x_{2} ^{1-a}}{(1-a)\cdot x_{1} ^{a} \cdot x_{2} ^{-a}} \end{eqnarray*}$

Ich dividiere nun x2, subtrahier damit also die Exponenten voneinander und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \frac{a \cdot x_{1} ^{a-1}}{(1-a)\cdot x_{1} ^{a}}\cdot x_{2} \end{eqnarray*}$

Ist das bis hierhin korrekt? Wie verfahre ich nun weiter?

Gruß Wink

05.03.2014, 02:18

Kasen75

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RE: Funktion umformen

Zitat:

Original von Wiwiwi

$\begin{eqnarray*} \frac{a \cdot x_{1} ^{a-1}}{(1-a)\cdot x_{1} ^{a}}\cdot x_{2} \end{eqnarray*}$

Ist das bis hierhin korrekt? Wie verfahre ich nun weiter?

Gruß Wink

Hallo,

sieht korrekt aus. Jetzt auch für die Variable $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ die Potenzgesetze verwenden:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{1} ^{a-1}}{x_{1} ^{a}}=x_1^{(a-1)-a} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Wiwiwi
Optimalerweise(!) kürze ich so viel wie nur möglich weg, so dass lediglich x2/x1 übrig bleibt.

Das würde aber nur gelten , wenn a=0,5 ist. Aber du versuchst hier die Cobb-Douglas-Funktion zu maximieren und zwar ohne Nebenbedingung. Das wird schwierig werden.

Vor allem ist dieser Schritt unzulässig:

Zitat:

Original von Wiwiwi
Partielle Ableitung nach x1 ergibt:

$\begin{eqnarray*} a \cdot x_{1} ^{a-1} \cdot x_{2} ^{1-a}\textcolor{red}{=0} \end{eqnarray*}$

Partielle Ableitung nach x2 ergibt:

$\begin{eqnarray*} x_{1} ^{a} \cdot (1-a)\cdot x_{2} ^{-a}\textcolor{red}{=0} \end{eqnarray*}$

Nun soll partielle Abl. x1 durch partielle Abl. x2 geteilt werden, sprich:

Die partiellen Ableitungen müssen 0 gesetzt werden. Wenn du jetzt die eine Ableitung durch de andere teilst, dann teilst du durch 0. Das ist nicht zulässig.

Wie gesagt, meiner Meinung nach fehlt da noch eine Nebenbedingung.

Grüße.

05.03.2014, 02:28

Wiwiwi

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Danke für die Hilfestellung. Ja, es ist eine Cobb Douglas Funktion. Ich erkläre vllt. doch kurz die Aufgabe bzw. warum ich die Funktion lösen möchte.

In meinem Buch steht einfach nur: u(x1, x2) = $\begin{eqnarray*} x_{1} ^{a} \cdot x_{2} ^{1-a} \end{eqnarray*}$ und die dazugehörige Nachfrage nach Gut 1 lautet: $\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{a\cdot m}{p_{1} } \end{eqnarray*}$
Mehr steht dazu nicht.

Ich wollte wissen, wie man auf die Nachfragefunktion kommt und dachte mein bisheriger Weg sei so in Ordnung? Wie muss ich denn sonst an sowas rangehen?

05.03.2014, 02:44

Kasen75

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Ich kann jetzt mit der Aufgabenstellung wenig anfangen. Auf jeden Fall müsste noch eine Frage dastehen. Es wäre gut, wenn du die Aufgabenstellung in Gänze nochmal aufschreiben würdest-wortwörtlich.
Ich denke bis jetzt fehlt da noch etwas.

Edit: Meine Vermutung ist, dass $\begin{eqnarray*} m=p_1 \cdot x_1 + p_2 \cdot x_2 \end{eqnarray*}$

05.03.2014, 03:08

Wiwiwi

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Es ist nicht wirklich eine Aufgabenstellung. Ich zitiere jetzt wortwörtlich:

"Im Fall der Cobb-Douglas-Präferenzen ist es einfacher, sich die algebraische Form der Nachfragefunktion anzusehen, um herauszufinden, wie die grafischen Darstellungen ausschauen. Wenn u(x1, x2) = $\begin{eqnarray*} x_{1} ^{a} \cdot x_{2} ^{1-a} \end{eqnarray*}$ , dann hat die Cobb Douglas Nachfrage nach Gut 1 die Form $\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{a\cdot m}{p_{1} } \end{eqnarray*}$ ." .................

Zum Zusammenhang: dieser Textausschnitt steht im Zusammenhang mit der Einkommens-Konsumkurve sowie der Engelskurve für bestimmte Präferenzen(perfekte Komplemente/Substitute, Cobb Douglas etc.).

Zum Beispiel stand bei den perfekten Komplementen, dass sich die Nachfrage nach Gut 1 aus der Budgetrestriktion ergibt:

$\begin{eqnarray*} p_{1}x_{1} + p_{2}x_{2} = m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} = x_{2} = x = \frac{m}{p_{1}+ p_{2} } \end{eqnarray*}$

Bei Cobb-Douglas-Präferenzen stand lediglich der oben zitierte Text und ich möchte für mich wissen, we man auf die Nachfrage nach Gut 1 kommt.

05.03.2014, 11:42

Kasen75

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Zitat:

Original von Wiwiwi
$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$ dann hat die Cobb Douglas Nachfrage nach Gut 1 die Form $\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{a\cdot m}{p_{1} } \end{eqnarray*}$ ." .................

Um auf diesen Ausdruck zu kommen muss man die Lagrangefunktion aufstellen:

$\begin{eqnarray*} \mathcal L=x_1^a\cdot x_2^{1-a}+\lambda \left( m-p_1 \cdot x_1-p_2\cdot x_2 \right) \end{eqnarray*}$

Optimiert man bezüglich $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ , dann steht am Ende da:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{1-a} \cdot \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} \end{eqnarray*}$

Ist dir das soweit geläufig ?

Diese Gleichung kann man nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auflösen.

Jetzt gilt: $\begin{eqnarray*} m=p_1 \cdot x_1-p_2\cdot x_2 \end{eqnarray*}$

Hier kannst du den Ausdruck für $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ einsetzen. Dann nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ auflösen. Dann hast du $\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{a\cdot m}{p_{1} } \end{eqnarray*}$ dastehen.

05.03.2014, 14:39

Wiwiwi

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Danke. Kann ich soweit auch komplett nachvollziehen, aber eine (allgemeine)Frage habe ich noch:

Wenn du

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{1-a} \cdot \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} \end{eqnarray*}$

nach x2 auflöst und in die Budgetrestriktion einsetzt

$\begin{eqnarray*} m=p_1 \cdot x_1-p_2\cdot x_2 \end{eqnarray*}$

erhältst du

$\begin{eqnarray*} m=p_1 \cdot x_1+p_2\cdot \left(\frac{p1}{p2} \cdot \frac{(1-a)}{a} \cdot x_{1} \right) \end{eqnarray*}$

Gekürzt

$\begin{eqnarray*} m=p_1 \cdot x_1+\left(p_{1} \cdot \frac{(1-a)}{a} \cdot x_{1} \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt wird zusammengefasst, so dass

$\begin{eqnarray*} m=p_1 \cdot x_1+\left(p_{1}\cdot x_{1} \cdot \frac{(1-a)}{a} \right) \end{eqnarray*}$

ergibt

$\begin{eqnarray*} m=p_1 \cdot x_1\cdot \left(1+ \frac{(1-a)}{a} \right) \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------------------------------

So, warum hat man hier so zusammengefasst wie ich es beschrieben habe? Könnte man nicht einfach aus der Zeile(vorletzte Zeile):

$\begin{eqnarray*} m=p_1 \cdot x_1+\left(p_{1}\cdot x_{1} \cdot \frac{(1-a)}{a} \right) \end{eqnarray*}$

Folgendes machen

$\begin{eqnarray*} m=2\cdot p_1 \cdot x_1+\left(\frac{(1-a)}{a} \right) \end{eqnarray*}$

?

---------------------------------------------------------------------------------

Weiter geht´s:

$\begin{eqnarray*} m=p_1 \cdot x_1\cdot \left(1+ \frac{(1-a)}{a} \right) \end{eqnarray*}$

Da ich die selbe Konstruktion(mit anderen Variablen) gestern noch im Netz gefunden habe, habe ich mich ab hier daran orientiert. Dort wird "ein kleiner Trick" verwendet, so dass folgt:

$\begin{eqnarray*} m=p_1 \cdot x_1\cdot \left(\frac{a}{a}+ \frac{(1-a)}{a} \right) \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} m=p_1 \cdot x_1\cdot \left(\frac{1}{a} \right) \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------------------------------

Ist dieser Trick legitim? Mir fehlt irgendwie der Zusammenhang. Ich weiß, dass man für eine Addition einen gleichen Nennenr brauch, aber ich verstehe nicht, dass 1 das selbe ist wie a/a . Gibt es da eine Regel oder Ähnliches?

Danke für deine Hilfestellung. Hast mir bereits sehr viel geholfen Wink

05.03.2014, 15:00

Kasen75

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Zitat:

Original von Wiwiwi
Könnte man nicht einfach aus der Zeile(vorletzte Zeile):

$\begin{eqnarray*} m=p_1 \cdot x_1+\left(p_{1}\cdot x_{1} \cdot \frac{(1-a)}{a} \right) \end{eqnarray*}$

Folgendes machen

$\begin{eqnarray*} m=2\cdot p_1 \cdot x_1+\left(\frac{(1-a)}{a} \right) \end{eqnarray*}$

?

Nein. So taucht z.B. $\begin{eqnarray*} \left(\frac{(1-a)}{a} \right) \end{eqnarray*}$ alleine im Ursprungsterm nicht auf. Einfach $\begin{eqnarray*} p_1 \cdot x_1 \end{eqnarray*}$ ausklammern ist der richtige weg.

Zitat:

Original von Wiwiwi

Ist dieser Trick legitim? Mir fehlt irgendwie der Zusammenhang. Ich weiß, dass man für eine Addition einen gleichen Nennenr brauch, aber ich verstehe nicht, dass 1 das selbe ist wie a/a . Gibt es da eine Regel oder Ähnliches?

Die Umformung nennt sich "den Bruch erweitern". Hierbei sollte $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein. Das ist hier gegeben.

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