Wahrscheinlichkeit unabhängige Fehler

05.03.2014, 08:47

Butzl

Wahrscheinlichkeit unabhängige Fehler

Meine Frage:
Bei der Produktion eine Bauteils können unabhängig voneinander drei verschiedene Fehler auftreten. Die Wahrscheinlichkeit von Fehler A beträgt 30%, von Fehler B 15% und von Fehler C 5%.
a, Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein produziertes Bauteil fehlerhaft?
b, Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil höchstens einen Fehler aufweist?
c, Bei Qualitätsprüfungen werden in einer ersten Stufe alle Bauteile mit zwei oder drei Fehlern aussortiert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 untersuchten Bauteilen drei aussortiert werden müssen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit bestehen die ersten drei Bauteile die Qualitätsprüfung nicht? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil, das die erste Prüfung überstanden hat, trotzdem fehlerhaft ist?

Meine Ideen:
a,
P(fehlerhaft)= 0,3+0,15+0,05= 0,5
b,
P(k<=1)=P(0)+P(1)
P(0)=(3C0)* 0,5^0 * (1-0,5)^3 = 0,125
P(1)= (3C1)* 0,5^1 * (1-0,5)^2 = 0,375
P(k<=1)= 0,5

c,
Wahrscheinlichkeit 3 aus 10:
P(k>=2)=1-P(k<=1)= 0,5
P(3 aus 10)= (10C3)* 0,5^3 * (1-0,5)^7 = 0,1172
Wahrscheinlichkeit, dass die ersten 3 aussortiert werden:
P(3 aus 3)= (3C3) * 0,5^3 * (1-0,5)^0 = 0,125 ???
Wahrscheinlichkeit das erste Prüfung bestanden und trotzdem fehlerhaft:
????

Hallo Leute, könnt ihr mir helfen?

05.03.2014, 09:02

Mi_cha

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a) fehlerhaft bedeutet, dass mindestens ein Fehler auftritt - es können aber auch zwei oder gar alle drei Fehler gleichzeitig auftreten. D.h. man berechnet diese Wahrscheinlichkeit am einfachsten über das Gegenereignis.
$\begin{eqnarray*} P("fehlerhaft)=1-P("kein Fehler") \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =1-(0,7*0,85*0,95) \end{eqnarray*}$

b) höchsten ein Fehler bedeutet - wie richtig gesagt - null oder einen Fehler haben:
$\begin{eqnarray*} P("kein Fehler")=0,7*0,85*0,95 \end{eqnarray*}$
Der eine Fehler kann nun entweder der Fehler A, Fehler B oder Fehler C sein; man muss also 3 Fälle addieren:
$\begin{eqnarray*} P("nur Fehler A")=0,3*0,85*0,95 \end{eqnarray*}$
analog die anderen beiden Fälle.

c) machen wir im Anschluss smile

05.03.2014, 09:29

Butzl

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Dann war ich ja voll auf dem falschen Dampfer...

Ok.
bei a, also P(fehlerhaft)= 0,43475

bei b, hab ich dann
P(k<=1) = 0,93903

dann auf zur c, smile

Danke schonmal!

05.03.2014, 09:39

Mi_cha

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bei der b komme ich zwar auf 0,937, aber ich kann mich durchaus vertippt haben smile

.

Bei der c muss man sich zuerst klarmachen, mit welcher Wahrscheinlichkeit gerechnet wird.
Das darfst du zunächst berechnen.

05.03.2014, 11:19

Butzl

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Man braucht P(k>=2):
P(k>=2)= 1- P(k<=1)
P (k>=2)=1- 0,93903= 0,06097

und dann würde ich machen:

P(3 aus 10)= (10C3)* 0,06097^3 * 0,93903^7 = 0,01751

und bei den ersten 3 Bauteilen also Ausfall würde ich machen:

P(3 aus 3) = (3C3) * 0,06097^3 * 0,93903^0 = 0,000227

Die letze Frage ist für mich eine bedingte Wahrscheinlichkeit:
nicht detektiert und trotzdem Ausfall
Aber da weiß ich dann nicht welche Wahrscheinlichkeiten ich nehmen soll.
Also es darf nicht 2 oder 3 Fehler haben, muss aber 1 haben.

05.03.2014, 11:32

Butzl

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Kann bei der letzen Frage P=0,3980 rauskommen?

05.03.2014, 11:37

Mi_cha

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das stimmt soweit, wenn du mit 0,0607 rechnest (ich komme auf 0,063 s.o.)

Der letzte Teil ist tatsächlich eine bed. Wahrscheinlichkeit.
Mit Q = Qualitätsprüfung bestanden
F = genau einen Fehler haben
ist gesucht:

$\begin{eqnarray*} P_{Q}(F) =\frac{P(Q\cap F)}{P(Q)} \end{eqnarray*}$

Man muss sich klarmachen, was $\begin{eqnarray*} Q\cap F \end{eqnarray*}$ ist.
Alle Wahrscheinlichkeiten wurden bereits berechnet.

05.03.2014, 11:38

Mi_cha

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Zitat:

Original von Butzl
Kann bei der letzen Frage P=0,3980 rauskommen?

ich habe 0,396 [wieder mit "meiner" W-keit aus Aufgabe b]

05.03.2014, 12:16

Butzl

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P (Q und F) ist ja P(P(k<=1)undP(k=1))
Ich hab dann einfach gesagt die Schnittmenge ist ja dann P(k=1).
Oder müsste ich da noch irgendwas rechnen?

05.03.2014, 12:19

Mi_cha