Schnittpunkte zweier Strecken in einem Spat

05.03.2014, 15:52

Rivago

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Schnittpunkte zweier Strecken in einem Spat

Hallo

Wink

Die Vektoren $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ spannen einen Spat ABCDEFGH auf, wobei A der Koordinatenursprung ist. L sei der Schnittpunkt der Diagonalen $\begin{eqnarray*} \overline{BG} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{CF} \end{eqnarray*}$ .

Bei Aufgabe a) musste man die Länge der Raumdiagonale $\begin{eqnarray*} \overline{AG} \end{eqnarray*}$ berechnen. Mein Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{17} LE \end{eqnarray*}$ .

Aufgabe b)
Zeigen Sie, dass sich die Raumdiagonale $\begin{eqnarray*} \overline{AG} \end{eqnarray*}$ und die Strecke $\begin{eqnarray*} \overline{HL} \end{eqnarray*}$ schneiden. Bestimmen Sie den Ortsvektor des Schnittpunktes K.

Ich hätte mir jetzt gedacht, dass ich erstmal den Betrag der Strecke $\begin{eqnarray*} \overline{BG} \end{eqnarray*}$ ausrechne. Danach bestimme ich den Punkt L und kann danach die Strecke $\begin{eqnarray*} \overline{HL} \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

Passt das soweit oder ist das umständlich bzw führt gar nicht zum Ziel?

smile

smile

05.03.2014, 16:08

riwe

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RE: Schnittpunkte zweier Strecken in einem Spat
ich würde entweder 2 geeignete Geraden schneiden und die Parameter untersuchen oder die Methode des "geschlossenen Vektorzuges" versuchen

05.03.2014, 16:14

Rivago

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Von "geschlossener Vektorzug" hab ich bis jetzt noch nichts gehört.

Was meinst du mit der anderen Methode?

Klappt es mit meiner Methode nicht?

Für den Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{HL} \end{eqnarray*}$ hab ich als Betrag $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{13}}{2} \end{eqnarray*}$ raus. Stimmt das?

Edit:

Sorry hab ein Fehler bei mir entdeckt. Als Betrag für $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{HL} \end{eqnarray*}$ hab ich $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{29}}{2} LE \end{eqnarray*}$ raus.

05.03.2014, 16:18

riwe

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das habe ich nicht nachgerechnet.
ich verstehe deine Methode nicht wirklich verwirrt

verwirrt

wie geht´s jetzt weiter verwirrt

verwirrt

um den Punkt L zu bestimmen, bzw. seine Koordinaten, brauchst du das nicht, addiere doch einfach die entsprechenden "Vektoranteile"

05.03.2014, 16:24

Rivago

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Hast recht, so ging es auch. Mein Punkt für L (2; 1,5; 1) stimmt.

Wie es jetzt weitergehen soll weiß ich ehrlich gesagt auch nicht verwirrt

verwirrt

05.03.2014, 16:27

riwe

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wie schon oben steht:
schneide die beiden Geraden durch A und G bzw H und L., deren Schnittpunkt sollte K sein.
wenn du diesen Punkt hast, reden wir über die Werte der Parameter

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05.03.2014, 16:30

Rivago

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Aber wie soll das denn gehen? Mir fehlt gerade jeglicher Ansatzpunkt, wie man auf K kommen soll. Man weiß ja nicht, wo sich beide Strecken schneiden.

05.03.2014, 16:34

riwe

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kannst du denn keine Geradengleichung aufstellen verwirrt

verwirrt

was hast du denn bis jetzt "vektoriell" gelernt verwirrt

verwirrt

ich bin ja kein Hellseher Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.03.2014, 16:50

Rivago

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Ich weiß nicht.. vllt hatten wir es auch noch nicht und der Lehrer hat vergessen zu sagen, dass wir Aufgabe b noch nicht machen sollen. Oder ich hab es überhört.

Hab jetzt selbst mal versucht, durch das Buch zu lernen.

Also..

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AK} = r \cdot \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BG} + \frac{1}{2}\overrightarrow{LH} \end{eqnarray*}$

2r = 2 - 2s
3r = 1,5 + 1,5s
2r = 1 + 1s

Stimmt das? verwirrt

verwirrt

05.03.2014, 17:10

riwe

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Zitat:

Original von Rivago
Ich weiß nicht.. vllt hatten wir es auch noch nicht und der Lehrer hat vergessen zu sagen, dass wir Aufgabe b noch nicht machen sollen. Oder ich hab es überhört.

Hab jetzt selbst mal versucht, durch das Buch zu lernen.

Also..

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AK} = r \cdot \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BG} + \frac{1}{2}\overrightarrow{LH} \end{eqnarray*}$

2r = 2 - 2s
3r = 1,5 + 1,5s
2r = 1 + 1s

Stimmt das? verwirrt

verwirrt

weiß ich gerade auch nicht.
bitte habe etwas Geduld, ich bin gerade in einer Besprechung, ca 1/2 Stunde.

hoffentlich kann dir wer helfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: das stimmt fast, richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AK} = r \cdot \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BG} +s\overrightarrow{LH} \end{eqnarray*}$

nun mußt du r und s bestimmen.
was du hier verwendest, nennt sich "geschlossener Vektorzug"

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.03.2014, 17:30

Rivago

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Also ich hab jetzt:

2r = 2s
3r = 3 - 1,5s
2r = 2s

s = r = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AK} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} \\ 2 \\ \frac{4}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Warum nimmt man denn an, dass r = s ist? verwirrt

verwirrt

05.03.2014, 17:49

riwe

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das nimmt man doch NICHT an, das hast du gerade RICHTIG berechnet Freude

Freude

wesentliche für r bzw. s ist:

$\begin{eqnarray*} 0\leq r,s\leq 1 \end{eqnarray*}$

da du bis jetzt so toll gerechnet hast, wirst du wissen warum, oder?

05.03.2014, 17:59

Rivago

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Aber ausrechnen konnte ich es ja eig nur, weil ich es vorher angenommen hab.

Im Buch stand ein Beispiel. Auch 3 Gleichungen, wie ich sie hab.

11r = 8 - 5s
3r = 3s
4r = 4s

Das sieht dann bei denen im Buch so aus:

3r = 3s --> r = s --> 11s = 8 - 5s --> s = r = 0,5

Außerdem steht im Buch:
"Wenn sich die beiden Raumdiagonalen schneiden, so gibt es einen Punkt S, der auf beiden Strecken liegt. Sein Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OS} \end{eqnarray*}$ lässt sich dann auf zwei Arten beschreiben, nämlich mit Hilfe des Vektors $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OF} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AG} \end{eqnarray*}$ . Das daraus resultierende Gleichungssystem hat nach nebenstehender Rechnung genau eine Lösung. Es existiert ein gemeinsamer Punkt, der wegen r, s <1 auf beiden Strecken liegt."

Also haben sie vorher vllt was gerechnet und nur nicht hingeschrieben?

Warum r, s <1 bedeutet, dass der Punkt auf beiden Strecken liegt, weiß ich leider nicht. verwirrt

verwirrt

05.03.2014, 20:09

Rivago

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Glaub ich weiß jetzt warum s = r.

Da steht ja 2r = 2s.

Wenn man das zb nach s umstellt, muss man ja geteilt durch 2 rechnen. Somit steht dann da r = s.

Wenn man es mal nicht so schön hat, muss man die beiden Buchstaben gesondert durch zb Einsetzungsverfahren lösen, richtig? smile

smile

Könntest du mir das mit 0 <gleich r, s <gleich 1 noch erklären?

05.03.2014, 20:37

riwe

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da scheinst du beide "Methoden" vermischt zu haben.

die Aufpasser mögen Nachsicht mit uns ziegen

"Methode 1": schneide die beiden Geraden Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (1)\quad{ }\vec{x}_{AG}=r\cdot\overrightarrow{AG} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2)\quad{ }\vec{x}_{LH}=\overrightarrow{AH}+s\cdot\overrightarrow{HL} \end{eqnarray*}$

daraus bekommt man - so ich nicht irre - das GLS

2r = 2s
3r = 3 - 1.5s
2r = 2 - s
mit der lösung $\begin{eqnarray*} r=\frac{2}{3}\wedge s=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

"Methode 2": schneide die beiden Geraden Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} r\cdot\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AL}+s\cdot\overrightarrow{LH} \end{eqnarray*}$

führt auf - so ich nicht irre:

2r = 2 - 2s
3r = 1.5 - 1.5s
2r = 1 + s

mit der lösung $\begin{eqnarray*} r=\frac{2}{3}\wedge s=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

beide Varianten liefern glücklicherweise denselben Schnittpunkt, der halt weiter von H weg liegt als von L Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 0\leq r,s\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist notwendig, weil der punkt zwischen A und G bzw. L und H also den entsprechenden Strecken liegen soll, ansonsten würde er sich lediglich auf beiden Geraden befinden.

du mußt also darauf achten, welchen Aufpunkt du benutzt, was ja einleuchten sollte.

05.03.2014, 21:03

Rivago

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Zitat:

Original von riwe

du mußt also darauf achten, welchen Aufpunkt du benutzt, was ja einleuchten sollte.

Jep, und du wirst es nicht glauben, in meinem Hefter hab ich es richtig stehen, nur hier halt nicht Big Laugh

Big Laugh

Methode 1 wäre doch die richtige, stimmts? smile

smile

06.03.2014, 13:18

riwe

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beide Methoden sind identisch, nur der Aufpunkt ist verschieden.
hoffentlich steht in deinem Heft nix anderes Augenzwinkern

Augenzwinkern

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