Integrationsmethode: Substitution

05.03.2014, 16:30

Bonheur

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Integrationsmethode: Substitution

Heute haben wir die Substitution der Integrationsvariablen eingeführt, aber habe das nicht ganz verstanden.

a) $\begin{eqnarray*} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}~dx \end{eqnarray*}$

Idee:

a) $\begin{eqnarray*} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}~dx=\int x^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}~dx \end{eqnarray*}$

oder:

Vielleicht kann man etwas mit dem Einheitskreis anfangen, denn es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}=1 \rightarrow y=\pm \sqrt{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank

05.03.2014, 16:59

Kasen75

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Hallo,

du kannst substituieren. $\begin{eqnarray*} x=sin(z) \end{eqnarray*}$
Dann kannst du später ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} sin^2(z)+cos^2(z)=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Grüße.

05.03.2014, 17:05

Bonheur

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Hallo, Kasen75 smile

smile

.

Wie kommt man auf sowas ?

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=sin(z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{sin(z)^{2}}{\sqrt{1-sin(z)^{2}}}~dx=\int \frac{sin(z)^{2}}{\sqrt{1-sin(z)^{2}}}~cos(z) \cdot dz \end{eqnarray*}$

Nebenberechnung:

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz}=cos(z) \rightarrow cos(z) \cdot dz=dx \end{eqnarray*}$

Wie geht´s weiter ?

05.03.2014, 17:18

Kasen75

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Zitat:

Original von Bonheur
Hallo, Kasen75 smile

smile

.

Wie kommt man auf sowas ?

Das ist mehr oder weniger Erfahrung. Auf jeden Fall ist ein Ausdruck 1-x^2 in einem zu integrierenden Term ein Signal, dass man unter Umständen den trigonometrischen Pythagoras verwenden kann.

Zitat:

Original von Bonheur
$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=sin(z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{sin(z)^{2}}{\sqrt{1-sin(z)^{2}}}~dx=\int \frac{sin(z)^{2}}{\textcolor{blue}{\sqrt{1-sin(z)^{2}}}}~\textcolor{blue}{cos(z)} \cdot dz \end{eqnarray*}$

Nebenberechnung:

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz}=cos(z) \rightarrow cos(z) \cdot dz=dx \end{eqnarray*}$

Wie geht´s weiter ?

Soweit richtig. Jetzt kannst du den (blauen) Nenner umformen, mit Hilfe des trig. Pythagoras. Dann kannst du die beiden blauen Faktoren kürzen.

Wie sieht es dann aus ? Wie würdest du dann weitermachen ?

05.03.2014, 17:26

Bonheur

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Gibt es eigentlich eine Eselsbrücke bei solchen Integralen ?

$\begin{eqnarray*} \int \frac{sin(z)^{2}}{\sqrt{1-sin(z)^{2}}}~dx=\int \frac{sin(z)^{2}}{\sqrt{1-sin(z)^{2}}}~cos(z) \cdot dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int \frac{sin(z)^{2}}{\sqrt{cos^{2}(z)}}~cos(z) \cdot dz=\int \frac{sin(z)^{2}}{cos(z)}~cos(z) \cdot dz=\int sin(z)^{2} \cdot dz \end{eqnarray*}$

Edit: Ich habe mal die Zeile aufgespalten, um die Überlänge rauszunehmen.
Kasen75

Nebenberechnung:

$\begin{eqnarray*} sin^2(z)+cos^2(z)=1 \rightarrow cos^2(z)=1-sin^{2}(z) \end{eqnarray*}$

So hier ? Wie muss ich aber nun weiterverfahren ? verwirrt

verwirrt

05.03.2014, 17:38

Kasen75

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Zitat:

Original von Bonheur
Gibt es eigentlich eine Eselsbrücke bei solchen Integralen ?

In Bezug auf was ?

Zitat:

Original von Bonheur
$\begin{eqnarray*} \int \frac{sin(z)^{2}}{\sqrt{1-sin(z)^{2}}}~dx=\int \frac{sin(z)^{2}}{\sqrt{1-sin(z)^{2}}}~cos(z) \cdot dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int \frac{sin(z)^{2}}{\sqrt{cos^{2}(z)}}~cos(z) \cdot dz=\int \frac{sin(z)^{2}}{cos(z)}~cos(z) \cdot dz=\int sin(z)^{2} \cdot dz \end{eqnarray*}$

Edit: Ich habe mal die Zeile aufgespalten, um die Überlänge rauszunehmen.
Kasen75

Nebenberechnung:

$\begin{eqnarray*} sin^2(z)+cos^2(z)=1 \rightarrow cos^2(z)=1-sin^{2}(z) \end{eqnarray*}$

So hier ? Wie muss ich aber nun weiterverfahren ? verwirrt

verwirrt

Jetzt kannst du $\begin{eqnarray*} \int sin(z)^{2} \cdot dz \end{eqnarray*}$ partiell integrieren. Schreibe hierzu erst einmal die erste Zeile auf.

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05.03.2014, 17:45

Bonheur

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Zur Eselsbrücke: Wie man am besten vorgehen sollte, um solche Integrale zu lösen.

$\begin{eqnarray*} \int sin(z)^{2} \cdot dz=\int 1 \cdot sin(z)^{2} \cdot dz=x \cdot sin(z)^{2}- \int \left(\sin(z)^{2}\right)'~dz \end{eqnarray*}$

So hier?

05.03.2014, 17:53

Kasen75

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Ich hatte eher an $\begin{eqnarray*} \int sin(z)^{2} \cdot dz=\int sin(z)\cdot sin(z) \cdot dz \end{eqnarray*}$ , wobei das eine sin(z) das u ist, und das andere sin(z) das $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ ist.

Das einzige, was ich dir jetzt als Tipp geben kann, war das vorhin geschriebene. Du wirst gleich sehen, dass man nicht ausschließen kann, dass man mal den falschen Weg geht.

05.03.2014, 18:05

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} \int sin(z)^{2} \cdot dz=\int sin(z)\cdot sin(z) \cdot dz=-cos(z) \cdot sin(z) \--\int sin(z) \cdot cos(z)~dz \end{eqnarray*}$ ,

so hier?

05.03.2014, 18:29

Kasen75

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Zitat:

Original von Bonheur
$\begin{eqnarray*} \int sin(z)^{2} \cdot dz=\int sin(z)\cdot sin(z) \cdot dz=-cos(z) \cdot sin(z) \--\int sin(z) \cdot cos(z)~dz \end{eqnarray*}$

Wenn sin(z) sowohl u als auch v' ist, dann sind ist u'=cos(z) und v=-cos(z)

$\begin{eqnarray*} \int sin(z)^{2} \cdot dz=\int sin(z)\cdot sin(z) \cdot dz=-cos(z) \cdot sin(z) \--\int cos(z) \cdot (-cos(z))~dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int sin(z)^{2} \cdot dz=\int sin(z)\cdot sin(z) \cdot dz=-cos(z) \cdot sin(z) +\int cos(z) \cdot cos(z)~dz \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt nochmal $\begin{eqnarray*} \int cos(z) \cdot cos(z)~dz \end{eqnarray*}$ partiell integrieren würde, dann würde am Ende dastehen $\begin{eqnarray*} \int sin^2(z)~dz=\int sin^2(z)~dz \end{eqnarray*}$ . Man hätte nichts gewonnen.

Man kann aber jetzt wieder den trig. Pythagoras anwenden.

$\begin{eqnarray*} \int sin(z)\cdot sin(z) \cdot dz=-cos(z) \cdot sin(z) +\int cos(z) \cdot cos(z)~dz<br /> \Rightarrow \int sin(z)\cdot sin(z) \cdot dz=-cos(z) \cdot sin(z) +\int (1-sin(z) \cdot sin(z))~dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int sin(z)\cdot sin(z) \cdot dz=-cos(z) \cdot sin(z) +\int 1 \ dz- \int sin(z) \cdot sin(z)~dz \end{eqnarray*}$

Das erste Integral kann man leicht berechnen. Das zweite Integral kann man mit dem Integral auf der linken Seite verrechnen.

05.03.2014, 18:40

Bonheur

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Ich habe alles verstanden, außer diesen Schritt.

Zitat:

Original von Kasen75

Man kann aber jetzt wieder den trig. Pythagoras anwenden.

$\begin{eqnarray*} \int sin(z)\cdot sin(z) \cdot dz=-cos(z) \cdot sin(z) +\int cos(z) \cdot cos(z)~dz<br /> \Rightarrow \int sin(z)\cdot sin(z) \cdot dz=-cos(z) \cdot sin(z) +\int (1-sin(z) \cdot sin(z))~dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int sin(z)\cdot sin(z) \cdot dz=-cos(z) \cdot sin(z) +\int 1 \ dz- \int sin(z) \cdot sin(z)~dz \end{eqnarray*}$

Hier wurde der Pythagoras angewandt:

$\begin{eqnarray*} sin^2(z)+cos^2(z)=1 \rightarrow cos^2(z)=1-sin^{2}(z) \end{eqnarray*}$

Gilt dann eigentlich nicht:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int sin(z)\cdot sin(z) \cdot dz=-cos(z) \cdot sin(z) +\int (1-sin(z) \cdot sin(z))\cdot (1-sin(z) \cdot sin(z))~dz \end{eqnarray*}$

Weil wir zwei mal cos(z) haben. verwirrt

verwirrt

05.03.2014, 18:46

Kasen75

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Zitat:

Original von Bonheur

Weil wir zwei mal cos(z) haben. verwirrt

verwirrt

Vielleicht klärt sich deine Frage schon durch den Hinweis, dass $\begin{eqnarray*} cos(z) \cdot cos(z)=cos^2(z) \end{eqnarray*}$

Freut mich aber, dass der Rest schon mal klar ist. smile

smile

05.03.2014, 18:53

Bonheur

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Verstehe.

smile

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int sin(z)\cdot sin(z) \cdot dz=-cos(z) \cdot sin(z) +\int 1 \ dz- \int sin(z) \cdot sin(z)~dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int sin(z) \cdot sin(z)~dz+ \int sin(z)\cdot sin(z) \cdot dz=-cos(z) \cdot sin(z) +\int 1~dz \end{eqnarray*}$

so hier?

05.03.2014, 18:58

Kasen75

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Genau.

smile

Jetzt kannst du die linke Seite additiv zusammenfassen. Und auf der rechten Seite das Integral lösen.

05.03.2014, 19:02

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int sin(z) \cdot sin(z)~dz+ \int sin(z)\cdot sin(z) \cdot dz=-cos(z) \cdot sin(z) +\int 1~dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2 \cdot \int sin(z) \cdot sin(z)~dz=-cos(z) \cdot sin(z) +x~dz \end{eqnarray*}$

so hier smile

smile

Ich hoffe, dass die Klausur nicht so komplex wird. Big Laugh

Big Laugh

05.03.2014, 19:16

Kasen75

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Die linke Seite ist soweit richtig zusammengefasst. Rechts hast du jetzt integriert. Insofern ist kein dz mehr nötig. Und da du nach z integriert hast, muss auch z dort stehen.

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int sin(z) \cdot sin(z)~dz=-cos(z) \cdot sin(z) +z+C \end{eqnarray*}$

Ich habe noch die Integrationskonstante hingeschrieben.

Nun nach $\begin{eqnarray*} \int sin(z) \cdot sin(z)~dz \end{eqnarray*}$ umstellen. Es muss also links noch der Faktor 2 eliminiert werden. Also die Gleichung durch 2 dividieren.

Die Konstante C musst du nicht explizit durch 2 teilen. Schreibe dann statt C z.B. einfach K.

Danach kannst du schon einmal z und sin(z) rücksubstituieren.
cos(z) machen wir dann gleich.

Ich denke nicht, dass so eine Aufgabe in der Klausur drankommt. Aber man weiß ja nie.

05.03.2014, 19:26

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} \int sin(z) \cdot sin(z)~dz=\frac{-cos(z) \cdot sin(z)}{2} +\frac{z}{2}+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int sin(z) \cdot sin(z)~dz=\frac{-cos(arcsin) \cdot x}{2} +\frac{arcsin}{2}+C \end{eqnarray*}$

so hier ?

Ich hoffe, dass solche Aufgaben ausgelassen werden. smile

smile

05.03.2014, 19:39

Kasen75

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Zitat:

Original von Bonheur
$\begin{eqnarray*} \int sin(z) \cdot sin(z)~dz=\frac{-cos(z) \cdot sin(z)}{2} +\frac{z}{2}+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int sin(z) \cdot sin(z)~dz=\frac{-cos(arcsin(\textcolor{blue}{x})) \cdot x}{2} +\frac{arcsin(\textcolor{blue}{x})}{2}+C \end{eqnarray*}$

so hier ?

Im Prinzip richtig. smile

smile

Ich habe noch das blaue x (Argument) hinzugefügt.

Man kann cos(z) aber auch noch anders rücksubstituieren.

$\begin{eqnarray*} cos(z)^2+sin^2(z)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(z)^2=1-sin^2(z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(z)=\sqrt{1-sin^2(z)} \end{eqnarray*}$

jetzt kann man links für das Substitut sin(z) die Variable x reinschreiben.

05.03.2014, 19:45

Bonheur

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Cool.

smile

Verstehe.

$\begin{eqnarray*} \int sin(z) \cdot sin(z)~dz=\frac{-cos(z) \cdot sin(z)}{2} +\frac{z}{2}+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int sin(z) \cdot sin(z)~dz=\frac{-\sqrt{1-x^{2}} \cdot x}{2} +\frac{arcsin}{2}+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(z)=\sqrt{1-sin^2(z)} \end{eqnarray*}$

so hier ?

05.03.2014, 19:50

Kasen75

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Zitat:

Original von Bonheur
Cool. smile

smile

Verstehe.

$\begin{eqnarray*} \int sin(z) \cdot sin(z)~dz=\frac{-cos(z) \cdot sin(z)}{2} +\frac{z}{2}+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int sin(z) \cdot sin(z)~dz=\frac{-\sqrt{1-x^{2}} \cdot x}{2} +\frac{arcsin(x)}{2}+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(z)=\sqrt{1-sin^2(z)} \end{eqnarray*}$

so hier ?

Genau.

Freude

Ich habe jetzt nochmal das Argument bei arcsin(x) dazugeschrieben. Im meinem letzten Beitrag war wohl mein Edit zu spät, damit du es mitbekommst.

05.03.2014, 19:55

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Juhuuuuuuu. smile

smile

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}~dx=\frac{-\sqrt{1-x^{2}} \cdot x}{2} +\frac{arcsin(x)}{2}+C \end{eqnarray*}$

Das kann man jetzt so aufschreiben oder?

Ich hoffe, dass ich gut abschneide bei der Klausur. smile

smile

05.03.2014, 20:03

Kasen75

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Zitat:

Original von Bonheur
Juhuuuuuuu. smile

smile

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}~dx=\frac{-\sqrt{1-x^{2}} \cdot x}{2} +\frac{arcsin(x)}{2}+C \end{eqnarray*}$

Das kann man jetzt so aufschreiben oder?

Ja das kann man Freude

Freude

-solange man kein Schönheitswettbewerb gewinnen will. Aber wer will das schon und hat die Zeit dazu.

Zitat:

Original von Bonheur
Ich hoffe, dass ich gut abschneide bei der Klausur. smile

smile

Also ich bin mir zu 99,999% sicher, dass du gut bei der Klausur abschneidest.

05.03.2014, 20:06

Bonheur

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Juhu.

smile

Vielen Dank für die qualitative Hilfe. Es hat mir wahnsinnig, viel Spaß gemacht. smile

smile

Ich wünsche dir noch einen wunderschönen Tag. smile

smile

05.03.2014, 20:12

Kasen75

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Zitat:

Original von Bonheur
Juhu. smile

smile

Vielen Dank für die qualitative Hilfe. Es hat mir wahnsinnig, viel Spaß gemacht. smile

smile

Das freut mich. Mir hat es auch Spaß gemacht, da du sehr schön mitgemacht hast.

Zitat:

Original von Bonheur
Ich wünsche dir noch einen wunderschönen Tag. smile

smile

Danke. Da der wunderschöne Tag langsam dem Ende entgegengeht, wünsche ich dir morgen auch noch einen wunderschönen Tag. Wink

Wink

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