Koordinten des Fußpunkts bestimmen (Pyramide, Parallelogramm als Grundfläche)

05.03.2014, 19:31

kleinesbienchen

Koordinten des Fußpunkts bestimmen (Pyramide, Parallelogramm als Grundfläche)

Meine Frage:
Gegeben sind die Punkte A(5,6,1), B(2,6,1), C(0,2,1), D(3,2,1) ; sie bilden die Grundfläche der Pyramide mit der Spitze S(2,4,5).

Nun sollten wir die Höhe der Pyramide und die Koordinaten des Fußpunkts bestimmen.

Meine Ideen:
Die Höhe lässt sich ja aus den Koordinaten herauslesen: 4 LE, richtig?

Als ich das Schrägbild gezeichnet habe, sah die Grundfläche wie ein Rechteck aus - das wäre leichter gewesen...
Jetzt ist es aber ein Parallelogramm und ich komme einfach auf keinen Ansatz.. Könnt ihr mir helfen? smile

05.03.2014, 19:54

Tesserakt

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Um den Höhenfußpunkt zu erhalten, ist lediglich das Lot auf die Ebene Parallelogramms zu fällen, also eine Linie die auf der Ebene des Parallelogramms senkrecht steht. Jetzt kann man sich, evtl. auch durch eine Skizze, überlegen, wo diese in diesem besonders einfachen Fall auf die Parallelogramm-Ebene auftrifft.

05.03.2014, 20:07

Leopold

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RE: Koordinten des Fußpunkts bestimmen (Pyramide, Parallelogramm als Grundfläche)

Zitat:

Original von kleinesbienchen
Die Höhe lässt sich ja aus den Koordinaten herauslesen: 4 LE, richtig?

Richtig.

Du kannst die Parallelogrammfläche $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ standardmäßig durch

$\begin{eqnarray*} F = \left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right| \end{eqnarray*}$

berechnen. Hier würde ich aber etwas ganz anderes vorschlagen. Alle vier Punkte haben dieselbe dritte Koordinate $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , liegen also in einer zur $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Koordinatenebene parallelen Ebene im Abstand $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt verschiebst du die Punkte alle um eine Einheit nach unten. Dadurch ändert sich die Form des Parallelogramms nicht. Die neuen Punkte liegen jetzt in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene und haben damit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ als dritte Koordinate. In der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene haben sie unter Weglassung der dritten Koordinate die Koordinaten

$\begin{eqnarray*} A'(5,6), B'(2,6), C'(0,2), D'(3,2) \end{eqnarray*}$

Dieses Parallelogramm kannst du in wahrer Größe in einem gewöhnlichen zweidimensionalen $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Koordinatensystem zeichnen. Und seinen Flächeninhalt kannst du auf mannigfache Art bestimmen. Eigentlich braucht man nur das Grundwissen eines Fünftkläßlers.

05.03.2014, 20:38

kleinesbienchen

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RE: Koordinten des Fußpunkts bestimmen (Pyramide, Parallelogramm als Grundfläche)
genau das habe ich getan.
allerdings brauche ich nicht den flächeninhalt, sondern die KOORDINATEN des fußpunkts.

ich habe dafür jetzt F(2,5/4/1) heraus...

05.03.2014, 21:05

Tesserakt

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Durch welche Überlegungen hast du dieses Ergebnis erhalten?

05.03.2014, 21:36

kleinesbienchen

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aus dem mittelwert jeweils der x- und y-koordinaten gegnüberliegender ecken, also A und C oder B und D...

05.03.2014, 21:43

Tesserakt

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Dann setzt du aber voraus, dass der Fußpunkt der Pyramidenhöhe gleich dem Schwerpunkt des Parallelogramms ist. Das muss allerdings nicht sein.
Wie gesagt, eine Skizze hilft.

05.03.2014, 21:45

kleinesbienchen

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hmm... hat der fußpunkt vielleicht dieselben x und y koordinaten wie die spitze, nur eben auf der z achse verschoben?

05.03.2014, 21:47

Tesserakt

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Richtig. Weshalb das so sein muss, findest du in meinem ersten Beitrag beschrieben.

05.03.2014, 21:50

kleinesbienchen

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oh mann... darauf hätte ich gleich kommen sollen... mega peinlicher denkfehler.... VIELEN DANK! Big Laugh