Hauptachsentransformation

05.03.2014, 19:56	Taufy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptachsentransformation Meine Frage: Hallo ich habe hier eine quadratische Gleichung: $\begin{eqnarray} Q(x,y): 2x^{2} + a xy + 2y^{2} - 1 = 0 \end{eqnarray}$ für a gilt: $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R , a\neq \pm 4 \end{eqnarray}$ diese soll ich auf Normalform transformieren. Leider komme ich jetzt nicht mehr weiter. Die Normalform soll sein: $\begin{eqnarray} \frac{x'^{2}}{\frac{2}{4+a} } + \frac{y'^{2}}{\frac{2}{4-a} } - 1 = 0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Bis jetzt habe ich die Koeffizientenmartix aufgestellt und die dazu gehörige Dieterminante berechnet. Leider verwirrt mich das "a", daher bin ich nicht in der lage das charaketeristische polynom und auch die Eigenwerte zu bestimmen. $\begin{eqnarray} (x, y)^{T} \begin{pmatrix} (2-\lambda) & \frac{1}{4}a \\ \frac{1}{4}a & (2-\lambda) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray}$ Determinate: $\begin{eqnarray} det \begin{pmatrix} (2-\lambda) & \frac{1}{4}a \\ \frac{1}{4}a & (2-\lambda) \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \lambda ^{2} - 4\lambda + 4 - \frac{1}{4}a \end{eqnarray}$
06.03.2014, 09:38	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Koeffizientenmatrix ist übrigens nicht korrekt. In den Nichtdiagonalelementen muss stehen a/2 und nicht a/4, also $\begin{eqnarray} Q(x,y)=\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2& \tfrac{1}{2}a\\\tfrac{1}{2}a&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Im letzten Summanden deines charakterischen Polynoms muss es heißen a²/4 und nicht a/4. Das charakteristische Polynom lautet also $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix}2-\lambda& \tfrac{1}{2}a\\\tfrac{1}{2}a&2-\lambda \end{vmatrix}=\lambda^2\underbrace{-4}_{p}\lambda+\underbrace{4-\tfrac{1}{4}a^2}_{q}=0 \end{eqnarray}$ Wende nun die Lösungsformel für quadratische Gleichungen an $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2}=-\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \tfrac{p}{2}\right )^2-q} \end{eqnarray}$ Das ergibt einfache Ausdrücke für die beiden Eigenwerte, welche natürlich noch den Parameter a enthalten.

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