Quadratische Gleichung mit Wurzeln

06.03.2014, 12:03

alois001

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Quadratische Gleichung mit Wurzeln

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

ich habe Probleme mit der folgenden quadratische Gleichung:
$\begin{eqnarray*} r^{2}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})r=\sqrt{6} \end{eqnarray*}$

Und würde mich über Unterstützung freuen.

Meine Ideen:
Ich habe bisher Versucht beide Seite zu quadrieren, was jedoch leider überhaupt nicht geholfen hat...aber hier mal meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} r^{2}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})r=\sqrt{6} <br /> \Rightarrow (r^{2}+r\sqrt{3}-r\sqrt{2})(r^{2}+r\sqrt{3}-r\sqrt{2})=6 <br /> \Rightarrow r^{4}+2r^{3}\sqrt{3}-2r^{3}\sqrt{2}+5r^{2}-2r^{2}\sqrt{6}=6<br /> \Rightarrow r^{2}(r^{2}+2r\sqrt{3}-2r\sqrt{2}+5-2\sqrt{6}=6 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank vorab.

06.03.2014, 12:15

adiutor62

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RE: Quadratische gleichung mit Wurzeln
Bringe Wurzel 6 nach links, dann pq-Formel anwenden.

06.03.2014, 12:25

alois001

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RE: Quadratische gleichung mit Wurzeln
Das hatte ich auch schon versucht, nur hilft mir das leider irgendwie nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} r_{1,2}=-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2} }{2}\pm \sqrt{(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2} }{2})^{2} +\sqrt{6} } \end{eqnarray*}$

06.03.2014, 12:35

adiutor62

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RE: Quadratische gleichung mit Wurzeln
Rechne die Klammer unter der Wurzel aus und fasse zusammen.

06.03.2014, 12:44

alois001

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RE: Quadratische gleichung mit Wurzeln
Wahrscheinlich stehe ich gewaltig auf dem Schlauch...aber das hilft mir auch noch nicht, weil immer eine irrationale Zahl raus kommt. Aber hier der gewünschte Rechenschritt:

$\begin{eqnarray*} r_{1,2}=-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2} }{2}\pm\sqrt{\frac{3-2\sqrt{6}+2 }{4}+\sqrt{6} } \end{eqnarray*}$

06.03.2014, 12:47

adiutor62

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RE: Quadratische gleichung mit Wurzeln
Bringe unter der Wurzel alles auf einen Bruchstrich und fasse weiter zusammen.

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06.03.2014, 12:52

alois001

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RE: Quadratische gleichung mit Wurzeln
$\begin{eqnarray*} r_{1,2}=-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2} }{2}\pm\sqrt{\frac{5+2\sqrt{6} }{4} } \end{eqnarray*}$

06.03.2014, 12:59

adiutor62

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RE: Quadratische gleichung mit Wurzeln
Jetzt kannst du noch Teilwurzeln ziehen und alles auf einen Gesamtbruchstrich schreiben.
Mehr geht aber auch nicht. Natürlich erhälst du zwei irrationale Lösungen.
Was mir beim Ausrechnen der Ergebnisse mit dem TR noch auffiel ist:
Die eine Lösung ergibt exakt $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ , die andere $\begin{eqnarray*} -\sqrt3 \end{eqnarray*}$ .

06.03.2014, 13:03

alois001

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RE: Quadratische gleichung mit Wurzeln
Was genau meinst du mit Teilwurzeln ziehen?

06.03.2014, 13:04

adiutor62

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RE: Quadratische gleichung mit Wurzeln
Die Wurzel aus dem Zähler und die aus dem Nenner.

06.03.2014, 13:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von adiutor62
Was mir beim Ausrechnen der Ergebnisse mit dem TR noch auffiel ist:
Die eine Lösung ergibt exakt $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ , die andere $\begin{eqnarray*} -\sqrt3 \end{eqnarray*}$ .

Ja, es ist vermutlich nicht einfach zu erkennen, dass $\begin{eqnarray*} 5+2\sqrt{6} = 3+2\sqrt{6}+2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 \end{eqnarray*}$ ist. Andererseits kann man vielleicht durch scharfe Betrachtung der Originalgleichung bzw. Anwendung des Vietaschen Wurzelsatzes

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2 = \sqrt{2}-\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1\cdot x_2 = -\sqrt{6} = -\sqrt{3}\cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

bereits "sehen", was die Wurzeln sind. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.03.2014, 13:11

alois001

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RE: Quadratische gleichung mit Wurzeln
Oh ha, meinst du das:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{5+2\sqrt{6} }{4} }=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{6} } }{\sqrt{4} }=\frac{\sqrt{17} }{4} \end{eqnarray*}$

?

06.03.2014, 13:16

adiutor62

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Wie kommst du auf Wurzel 17 und auf die 4 im Nenner. Wurzel 4 = ? verwirrt

verwirrt

@HAL 9000

Da sieht man wieder den echten Profi. Darauf wäre ich echt nicht gekommen. Danke. Du hast wieder einmal meine volle Bewunderung.

06.03.2014, 13:19

alois001

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RE: Quadratische gleichung mit Wurzeln
Oh man, eigentlich sollte ich die Aufgabe mit Hilfe der quadratischen Ergänzung lösen geschockt

geschockt

nunja vielen Dank für die Hilfe...ich muss jetzt mal kurz mit dem Hund raus. Es wäre super, wenn noch jemand mein Teilwurzel ziehen überprüft. Danke Wink

Wink

06.03.2014, 13:23

alois001

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Ach quatsch...das war völliger humbuck. Ich komme jetzt auf diesen Endstand:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}\pm \sqrt{5+2\sqrt{6} } }{2} \end{eqnarray*}$

06.03.2014, 13:24

adiutor62

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RE: Quadratische gleichung mit Wurzeln
Ich auch. Wink

Wink

06.03.2014, 15:16

HAL 9000

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Da ist ein Minus entschwunden, richtig ist

$\begin{eqnarray*} \frac{{\color{red}-}(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm \sqrt{5+2\sqrt{6}}}{2} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}\pm (\sqrt{3}+\sqrt{2})}{2} \end{eqnarray*}$ ,

was den schon genannten $\begin{eqnarray*} -\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ entspricht.

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