Extrema mit Nebenbedingung

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06.03.2014, 14:11	tInE33	Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema mit Nebenbedingung Meine Frage: Hi, Folgendes: Ich habe eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung x²+y²<=1 und die Funktion lautet f(x,y)=x^4+y^4+2x²y²+2x²-2y²+1 und soll die Extrema bestimmen. Meine Ideen: Kreisinnere: Wenn ich den Graduenten von f(x,y) berechne komme ich auf die kritischen Punkte (0,0), (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1) Wenn ich die Hessematrix bilde, komme ich zu folgendem Ergebnis: Sattelpunkt bei (0,0), kein Extremum bei (1,0) und (-1,0) da ich die Eigenwerte 16 und 0 herausbekomme und somit einer "verschwindet". lokales Minimum bei (1,0) und (0,-1) Kreislinie: Mithilfe der Multiplikatorregel von Lagrange komme ich wieder auf die Punkte (1,0), (-1,0) (0,1), (0,-1) Wenn ich die werte einsetze erhalte ich als Werte: 4 4 0 0 Da es sich ja um eine Kompakte Menge Menge handelt, besitzt die Funktion nach Weierstraß ein globales Maximum und Minimum, also genau diese Punkte. Kann das richtig sein? Mich verwirrt das, da ich ja Anfangs für (1,0) und (-1,0) herausgefunden hatte, dass es sich um kein Extremum handelt. Plötzlich ist es doch eines?? Vielen Dank!
07.03.2014, 10:16	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y)=(x^2+y^2)^2+2x^2-2y^2+1 \end{eqnarray}$ Diese Formel vereinfacht sich bei Verwendung von Kreiskoordinaten $\begin{eqnarray} x=R\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=R\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray}$ Setze dies ein und verwende zur weiteren Vereinfachung folgende Formeln $\begin{eqnarray} \cos^2(\phi)+\sin^2(\phi)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos^2(\phi)-\sin^2(\phi)=\cos(2\phi) \end{eqnarray}$ Das ergibt die einfache Funktion $\begin{eqnarray} f(R,\phi)=R^4+2R^2\cos(2\phi)+1 \end{eqnarray}$ Diese Funktion soll auf der Kreisfläche R<=1 betrachtet werden. Ohne zu rechnen ist folgendes klar: Wenn man sich auf einer Kreisbahn mit dem konstanten Radius R<=1 um den Nullpunkt bewegt, beschreibt die Funktion f offenbar eine Berg-und-Tal-Bahn (wie auf dem Rummel), wobei die Amplitude mit wachsendem Radius R zunimmt. Die Extrema liegen also auf dem äußerem Kreis R=1. Um Ursprung R=0 befindet sich demnach ein Sattelpunkt.
07.03.2014, 13:45	tInE33	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedeutet das dann, das auch meine Lösung richtig ist?
07.03.2014, 13:52	tInE33	Auf diesen Beitrag antworten »
Bzw. hab ich mit meiner Vermutung recht, dass es sich wenn ich das Kreisinnere betrachte um einen Sattelpunkt handelt und wenn ich die Funktion als kompakte Menge betrachte mit der Nebenbedingung, es sich um globale Extrema handelt, da die Funktion eben innerhalb dieser Kreislinie beschränkt ist? Ist etwas blöd ausgedrückt von mir, weiß aber nicht wie ichs anders formulieren soll... sorry Und danke für die vorherige Antwort!
07.03.2014, 14:14	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du mit Radius 1 die Wellenlinie erzeugst, dann ergibt sich aufgrund des cosinus ein Maximum bei (1,0) und ein Minimum bei (-1,0) . Das als reine Folgerung aus der Funktion $\begin{eqnarray} f(R,\Phi) \end{eqnarray}$
07.03.2014, 14:27	tInE33	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber das beantwortet mir leider immer noch nicht so ganz meine letzte Frage, bzw. ich verstehs nicht so ganz, da mir die Formel mit cos und sin unbekannt ist. Habe nur gelernt, wie man Funktionen mit Nebenbedingungen mit Hilfe von Lagrange lösen kann...
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08.03.2014, 12:56	tInE33	Auf diesen Beitrag antworten »
Trotzdem danke für die bisherigen Antworten!
10.03.2014, 09:59	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht. Die Funktion besitzt an den Punkten (1\|0) (0\|1), (-1\|0), (0\|-1) die Extrema, also auf der äußeren Kreislinie.
13.03.2014, 07:21	tInE33	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch!

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