Absolutbetragsmetrik - Durchmesser

06.03.2014, 15:32

Basti93

Absolutbetragsmetrik - Durchmesser

hallo
ich muss bezüglich der Absolutbetragsmetrik auf R $\begin{eqnarray*} diam(\left\{ \frac{1}{n}| n\in \mathbb N _2 \right\} ) \end{eqnarray*}$ bestimmen.
ich weiß:
Durchmesser ist definiert als $\begin{eqnarray*} diam(M)=sup\left\{ d(x,y): x,y\in M\right\} \end{eqnarray*}$
und die Absolutbetragsmetrik ist $\begin{eqnarray*} d(x,y)=| x | +| y | \end{eqnarray*}$
kann mir jemand helfen wie ich jetzt fortfahren muss?

oder ist mit der absolutbetragsmetrik
d(x,y)=|x-y| gemeint?

06.03.2014, 17:12

Basti93

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oder ist mir der absolutbetragsmetrik
d(x,y)=|x-y| gemeint?

07.03.2014, 15:43

weisbrot

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Zitat:

oder ist mir der absolutbetragsmetrik d(x,y)=|x-y| gemeint?

ja.

kurze frage: was ist bei dir " $\begin{eqnarray*} \mathbb N_2 \end{eqnarray*}$ "?

lg

07.03.2014, 16:12

Basti93

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Also die aufgabe steht genauso auf meinen Übungszettel.. ich hätt mir einfach gedacht dass n Element der natürlichen Zahlen größer oder gleich 2 ist.

07.03.2014, 16:16

Basti93

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ich hät jetzt mal intuitiv gesagt, dass es 1/2 wäre... weil das ja die kleinste obere schranke und damit das supremum wäre.. aber wie kann ich das schrittweise in einem Beweis hinschreiben? unglücklich

07.03.2014, 16:27

weisbrot

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also $\begin{eqnarray*} \mathbb N_2 = \mathbb N_{\geq 2} = \{2,3,4,\ldots\} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

ich hät jetzt mal intuitiv gesagt, dass es 1/2 wäre... weil das ja die kleinste obere schranke und damit das supremum wäre.. aber wie kann ich das schrittweise in einem Beweis hinschreiben?

ja (aber nicht einfach weil das das supremum ist). eine weise wäre das supremum und infimum dieser menge zu finden. das supremum ist zugleich das maximum und das ist 1/2 - das kannst du auch noch beweisen wenn du genau sein willst. das infimum findest du selbst. und ihre differenz ist der diameter der menge.

lg

07.03.2014, 16:51

Basti93

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ok danke!
würde es eigentlich reichen zu sagen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} =0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} max\left\{ \frac{1}{n}| n\in \mathbb N _\geq 2 \right\}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und folglich wäre $\begin{eqnarray*} diam(M)= |\frac{1}{2} -0|= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

LG smile

07.03.2014, 17:01

weisbrot

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Zitat:

würde es eigentlich reichen zu sagen

das ist immer soeine sache, wem soll es reichen? wäre ich jemand, der diese aufgabe von seinen studenten korrigiert, würde ich mir schon etwas erklärung dazu wünschen. aber naja, das wären zumindest so die kernaussagen.
lg

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