Ungleichung lösen

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06.03.2014, 17:07	le_Foo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung lösen Hallo! Eigentlich ist mein aktuelles Thema die Konvergenz von Folgen. Zum Lösen der Aufgabe muss ich eine Ungleichung umformen. Dabei musste ich feststellen dass ich etwas eingerostet bin, da ich mehrere unterschiedliche Ergebnisse erhalten habe. Ich brauche bitte jemand der mir sagen kann ob meine aktuelle Lösung richtig ist. Die Ungleichung: $\begin{eqnarray} <br /> \|\frac{n^2}{1+n^2} -1\| < \varepsilon<br /> \end{eqnarray}$ Ich möchte die Ungleichung so umformen dass ein einzelnes n auf einer Seite steht. Meine Lösung: $\begin{eqnarray} <br /> n<\sqrt{1+\frac{1}{\varepsilon}}<br /> \end{eqnarray}$ Danke im Voraus für eure Hilfe. lg, le_Foo
06.03.2014, 17:16	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du dich irgendwo vertan... Zeig mal deine Rechnung, dann schauen wir uns an, wo es fehlt Lg kgV
06.03.2014, 17:17	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da sind dir ein paar Fehler unterlaufen, wobei einer ziemlich offensichtlich ist. Wenn deine Lösung richtig wäre, die Aussage also nur für kleinere Werte von n gilt, wie soll die Folge dann konvergent sein? Um Dich nicht komplett alleine zu lassen, schreib ich mal die Gleichung hin, die Du erreihen solltest und mit der Du dann weiter arbeiten kannst: $\begin{eqnarray} \frac 1{1+n²}<\varepsilon \end{eqnarray}$ EDIT: Zu lange getippt, unser Nachwuchsmod darf weiter machen
06.03.2014, 17:48	le_Foo	Auf diesen Beitrag antworten »
@Helferlein: Die Frage nach der Konvergenz wäre meine nächste Frage gewesen. Ich wollte zuerst mal den kleineren Teil überprüfen. Meine Folge: $\begin{eqnarray} <br /> a_n = \frac{n^2}{1+n^2}<br /> \end{eqnarray}$ Aufgabe: Ich soll zeigen dass die Folge konvergiert indem ich einen Index N( $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ ) finde für beliebige $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ > 0 ab dem alle Folgenelemente innerhalb der Epsilonumgebung liegen. Der Limes der Folge ist ja offensichtlich 1. Daher war mein Ansatz dass ich N( $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ ) finde indem ich die Ungleichung löse: $\begin{eqnarray} <br /> \|\frac{n^2}{1+n^2} -1\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ sobald $\begin{eqnarray} n >= N(\varepsilon) <br /> \end{eqnarray}$ Ist das soweit korrekt? Zu meiner eigentlichen Rechnung: $\begin{eqnarray} <br /> \|\frac{n^2}{1+n^2} -1\| < \varepsilon<br /> <br /> \frac{n^2}{1+n^2} < \varepsilon +1<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Als nächstes dividiere ich den Bruch durch n^2. $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{\frac{1}{n^2}+1} < \varepsilon +1<br /> \end{eqnarray}$ Dann nehme ich den Kehrwert beider Seiten. Dadurch ändert sich auch das < in >: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{n^2}+1 > \frac{1}{\varepsilon +1}<br /> \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{n^2} > \frac{\varepsilon}{\varepsilon +1}<br /> \end{eqnarray}$ Nochmal den Kehrwert mit vertauschen von < und >. $\begin{eqnarray} <br /> n^2 < \frac{\varepsilon +1}{\varepsilon}<br /> \end{eqnarray}$ Den Bruch durch Epsilon dividieren: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{n^2} < \frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{1}<br /> \end{eqnarray}$ Ergebnis: $\begin{eqnarray} <br /> n < \sqrt{1+ \frac{1}{\varepsilon}}<br /> \end{eqnarray}$ Soweit mein Lösungsweg.
06.03.2014, 17:55	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz stimmt so weit Allerdings hast du beim Auflösen des Betrags einen fatalen Fehler gemacht: du kannst nicht einfach so Zahlen aus dem Betrag ziehen! Beispiel: $\begin{eqnarray} \|2-3\|=\|-1\|=1 \end{eqnarray}$ . Nach deinem Vorgehen käme da aber $\begin{eqnarray} \|2\|-3=-1 \end{eqnarray}$ heraus... Was du dagegen tun könntest: du könntest den Ausdruck innerhalb der Betragsstriche vereinfachen, indem du alles auf den gemeinsamen Nenner bringst Es heißt also leider von vorne anfangen...
06.03.2014, 18:19	le_Foo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich rechne das nochmal durch. Angenommen ich hätte keine Betragsstriche in der Ungleichung. Stimmt dann meine Berechnung? Mich interessiert auch ob ich Fehler bei den Umformungsschritten mache.
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06.03.2014, 18:35	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Schritt, nachdem du den ersten Kehrwert nimmst, bringst du die 1 auf die rechte Seite und auf den Bruch. Da müsste vors Epsilon noch ein Minus hin, ansonsten passt das aber (zumindest vom algebraischen her - die Wurzel dürfte aber ein paar Problemchen machen )
06.03.2014, 18:36	le_Foo	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf einen Fehler bin ich gekommen: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{n^2}{1+n^2} <br /> \end{eqnarray}$ Dividiert durch $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ ergibt nicht $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{1+\frac{1}{n^2}} <br /> \end{eqnarray}$ sondern: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{1+n^2} <br /> \end{eqnarray}$
06.03.2014, 18:41	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die erste Variante stimmt schon... du musst jeden Summanden des Nenners durch $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ dividieren, nicht nur einen. Denk dir einfach eine Klammer um den ganzen Nenner, dann siehst du auch schnell, wieso das so ist Was ich aber nicht bestreiten werde, ist, dass dein Weg etwas umständlich ist: man könnte hier: $\begin{eqnarray} \frac{n^2}{n^2+1}<\varepsilon +1 \end{eqnarray}$ auch einfach mit $\begin{eqnarray} n^2+1 \end{eqnarray}$ multiplizieren edit: ich bin grade mal weg - Essen wieder da
06.03.2014, 19:28	le_Foo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mich da von WolframAlpha etwas aus der Bahn bringen lassen. Einen Bruch durch irgendwas zu dividieren ist nicht das selbe wie Zähler und Nenner durch etwas zu dividieren. @kgV: Das minus Epsilon habe ich übersehen. Hast recht, das müsste -Epsilon/(Epsilon +1) sein. Ich habe deinen Vorschlag ausprobiert und habe jetzt bei beiden Methoden fast die gleichen Ergebnisse: Methode 1: Kehrwert ... $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{n^2} > \frac{1-(\varepsilon +1)}{\varepsilon +1}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{n^2} > -\frac{\varepsilon}{\varepsilon +1}<br /> \end{eqnarray}$ Durch den Kehrwert dreht sich das > in ein < $\begin{eqnarray} <br /> n^2 < -\frac{\varepsilon + 1}{\varepsilon}<br /> \end{eqnarray}$ Wurzel und fertig ... $\begin{eqnarray} <br /> n < \sqrt{-\frac{\varepsilon + 1}{\varepsilon}}<br /> \end{eqnarray}$ Methode 2: Multiplizieren mit n² +1 $\begin{eqnarray} <br /> \frac{n^2}{n^2+1} < \varepsilon +1<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> n^2 < (\varepsilon +1)(n^2+1)<br /> \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} <br /> 0 < \varepsilon + \varepsilonn^2+1<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> - \varepsilonn^2 < \varepsilon +1<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> -n^2 < \frac{\varepsilon +1}{\varepsilon}<br /> \end{eqnarray}$ (-1) dadurch ändert sich < in > $\begin{eqnarray} <br /> n^2 > -\frac{\varepsilon +1}{\varepsilon}<br /> \end{eqnarray}$ Wurzel ... $\begin{eqnarray} <br /> n > \sqrt{-\frac{\varepsilon +1}{\varepsilon}}<br /> \end{eqnarray}$ Also bis auf das > - Zeichen sind die Ergebnisse gleich. Wo habe ich einen Fehler gemacht?
06.03.2014, 19:40	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
edit: Fehler gefunden: Beim Kehrbruch bilden (im zweiten Anlauf) musst du auch das Minus vor dem Bruch berücksichtigen. Das dreht dir das Relationszeichen in die richtige Richtung Dass hier solcher Unfug rauskommt liegt wohl schlicht und ergreifend daran, dass die Wurzel ein nicht definierter Ausdruck ist Wenden wir uns wieder der eigentlichen Aufgabe zu oder sind hier noch Dinge zu klären? Dort würde ich wie gesagt im Betrag alles auf einen Nenner bringen
06.03.2014, 19:44	le_Foo	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber das würde doch bedeuten dass ich irgendwo in den Umformungen einen Fehler habe. Ich gehe doch von den gleichen Ungleichungen aus und sollte damit (egal durch welche Umformung) das gleiche Ergebnis erhalten. Ich geh jetzt auch mal kurz was Essen. Danke schonmal für deine bisherige Hilfe.
06.03.2014, 19:46	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mache dich hier nochmal darauf aufmerksam, dass ich den Fehler gefunden und meinen Beitrag entsprechend editiert habe: beim zweiten Kehrwert muss das minus mitberücksichtigt werden PS. kann gut sein, dass ich nachher wegmuss. Dann wird hier jemand anderes aushelfen edit: ist geklärt, Equester macht weiter Schönen Abend noch
06.03.2014, 20:46	le_Foo	Auf diesen Beitrag antworten »
@kgV: Danke für deine Hilfe! Deinen Edit hatte ich leider übersehen. Gut, damit hätten wir das Umformen geklärt. Wenn ich das richtig verstanden habe, gibt es weiterhin ein Problem mit Betrag-Strichen die ich kurzerhand ignoriert hatte. Ich brauch bitte einen Ansatzpunkt wie ich mit den Betragstrichen umgehen soll. Wenn ich zuerst den Term innerhalb der Betragstriche Umforme, komme ich auf die Ungleichung: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \|-1-n^2\| > \frac{1}{\varepsilon}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Aber wie gehts dann weiter?
06.03.2014, 21:09	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi , Das ist soweit richtig, Schreibe nun \|-1(1+n^2)\| = \|-1\|\|1+n^2\| Dann kannst du den Betrag einfach wegfallen lassen. Denn \|-1\| = 1 und der zweite Faktor ist ohnehin immer >0.
06.03.2014, 22:05	le_Foo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Equester, danke für deine Antwort. Dh für diese Aufgabe hat es keinen Unterschied gemacht dass ich die Betragsstriche vernachlässigt habe. Das Ergebnis war das gleiche. Im Allgemeinen kann ich die Striche nur weglassen wenn sichergestellt ist dass die einzelnen Teilausdrücke nicht negativ werden können. Danke für deine Hilfe!
06.03.2014, 22:13	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht genau auf welchen Teil du anspielst, die Betragsstriche braucht es aber durchaus. Also für die Aufgabe generell. Aber wie im Post von mir gezeigt kann man sie schnell "eliminieren" . So, ich bin aber auch schon wieder weg. Morgen (oder später) dann wieder. Einer von uns wird schon da sein .

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