Extrema F(x,y) |
| 06.03.2014, 18:17 | Seppelkoi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Extrema F(x,y) Hallo Freunde! Ich habe hier mal ein paar Fragen bezüglich einer Aufgabe in Mathe für Bauingenieure 
Da ich mit Latex nicht so gut umgehen kann, hoffe ich, dass man mich trotzdem irgendwie versteht
Die Aufgabenstellung ist Folgende: 1. Berechnen Sie den Gradienten von f(x,y) 2. Berechnen Sie alle stationären Punkte von f(x,y) 3. Berechnen Sie alle Extrema von f(x,y) Die Funktion lautet: Nun leite ich mal ab hihi... df/dx: df/dy: zweite Ableitungen: dx: dy: Für Extrema setze ich die ersten Ableitungen = 0 und bekomme folgende Werte: X1 = 0 X2 = 2 Y = 2 Diese Werte setze ich nun jeweils in die zweiten Ableitungen ein oder? Dann bekomme ich ja die Krümmung und kann sehen, ob es sich um einen HP bzw. TP handelt. Ob es dann auch wirklich einer ist (hinreichende Bedingung), sehe ich ja dann bei dem Kriterium der Hessematrix Determinante. Und da weiß ich nicht weiter, siehe Fragestellungen. Was ich nicht verstehe: Zu 2.: Was sind stationäre Punkte? Wie berechnet man die?
Keine Ahnung wie das gehen soll.zu 3.: Die Bedingung der Hesse-Matrix am Ende mit fxx * fyy - (fxy)^2, wenn das kleiner Null ist (Sattelpunkt) oder größer Null (HP oder TP), wie berechne ich das? fxx ist die zweite partielle Ableitung nach x, fyy ist die zweite partielle Ableitung nach y, aber wie muss ich da vorgehen? Wo setze ich was ein? Und was zur Hölle ist fxy?? Die ersten beiden partiellen Ableitungen multipliziert? Addiert? Die nicht abgeleitete Funktion? Ich stehe da etwas auf dem Schlauch
Ein Beispiel wäre da ganz toll, aber bitte ein ZAHLENBEISPIEL 
Ich bin für jede Hilfe dankbar
Meine Ideen: Ideen siehe oben |
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| 06.03.2014, 18:36 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stationäre Punkte (oder oft auch "kritische" Punkte) hast du schon gefunden. Das sind Punkte, die zur weiteren Betrachtung bzgl Extrema und Sattelpunkte herangezogen werden. Für jene die gilt grad(f) = 0. Hast du also schon (mehr oder weniger) erledigt. Du hast y = -2 vergessen! 
Es sind also 4 stationäre Punkte mit denen man nun in die Hessematrix geht. fxx beschreibt die doppelte Ableitung nach x. fxy ist die Ableitung nach x und dann nach y (bzw. andersrum. Die Reihenfolge spielt keine Rolle) |
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| 06.03.2014, 20:03 | Seppelkoi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und genau das ist meine Frage. WIE in die Hessematrix geht? Wie sieht das aus? Bitte mache es doch mal mit den Werten, die wir hier raus haben. Ich habe schon sämtliche Bücher die ich habe durchforstet aber ich finde dazu einfach nichts. Ich möchte nur einmal ein konkretes Zahlenbeispiel haben. Vielen Dank. |
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| 06.03.2014, 20:07 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Hesse-Matrix hat die Gestalt: Nun setze die von dir teilweise schon bestimmten Ableitungen ein. Dann untersuche speziell für die stationären Punkte was sich für die Determinante ergibt (die von dir genannte "Formel"). |
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| 06.03.2014, 20:16 | Seppelkoi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaube, ich drücke mich nicht sauber aus. WIE in die Hesse Matrix geht? Wie die aussieht weiß ich auch, deswegen habe ich besagte Formel ja schon aufgeschrieben. Ich verstehe auch den Hintergrund der Determinante usw. NUR WIE MACHE ICH DAS JETZT. Was ist fxy? Was ist fyx? Wie sieht das aus? Und wie "gehe" ich in die Hesse Matrix? Muss man denn immer alles tausend mal fragen? Ich will einfach nur wissen wie es geht. Mehr nicht. |
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| 06.03.2014, 20:21 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man die Antworten nicht liest muss man mehrfach nachfragen. Die Schuld liegt aber bei dir.
Habs mal vergrößert. ----------- Wegen dem wie (auch das hatte ich schon erwähnt). Aber nochmals in anderen Worten. Du hast bspw. dein fxx, welches x und y-Werte enthält. Nimm deine stationären Punkte und setze deren Werte ein. Somit hast du fxx
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| 06.03.2014, 20:41 | Seppelkoi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Um meine Frage jetzt nochmal (nach 3 Posts) extrem "vergrößert" darzustellen: aber wie muss ich da vorgehen? Wo setze ich was ein? Und was zur Hölle ist fxy?? Die ersten beiden partiellen Ableitungen multipliziert? Addiert? Die nicht abgeleitete Funktion? Ich stehe da etwas auf dem Schlauch Bitteschön... |
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| 06.03.2014, 20:48 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein letztes Mal gehe ich nochmals darauf ein. Wenn du dann nicht spezifischer wirst, wirst du die Wand anschreien müssen. aber wie muss ich da vorgehen? Bereits gesagt: Hesse-Matrix aufstellen und Punkte einsetzen Wo setze ich was ein? Bereits gesagt: Die x und y-Werte der stationären Punkte sind einzusetzen Und was zur Hölle ist fxy?? Die ersten beiden partiellen Ableitungen multipliziert? Siehe oben. Ist sehr groß dargestellt :P. Wenn noch etwas unklar ist, dann frage bitte spezifisch nach. Lokalisiere also das Übel des Unverständnisses und formuliere die Frage erneut. |
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| 06.03.2014, 20:52 | Seppelkoi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich denke, ich weiß es jetzt so ungefähr. Ich will es aber mit einer Gegenfrage sicherstellen: fxy ist die NICHT abgeleitete Funktion wie sie ist nach beiden Variablen einfach abgeleitet? Also quasi wie das totale Differenzial nur ohne Veränderliche? Also in dem Fall ??? Stimmt das so? Und dann setze ich einfach nur die Stationären ein und überprüfe die Hesse Bedingung? |
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| 06.03.2014, 21:06 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nope, da habe ich mich vllt zu schwach ausgedrückt. Du leitest f(x,y) einmal nach x ab. Wenn du dann fx hast, leitest du fx nun nach y ab. Schon hast du fxy (Du kannst auch erst nach y ableiten und dann nach x). Sonst aber stimmts. Das ist das weitere Vorgehen
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| 06.03.2014, 21:24 | Seppelkoi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Könntest du mir BITTE BITTE jetzt einfach mal diese verdammte Ableitung hier hinschreiben? Was ist daran denn so schwer... Ich raffe es einfach nicht was du meinst... Mach es doch einfach mal! |
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| 06.03.2014, 21:26 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir geben keine Komplettlösungen raus. Und ich meine was soll ich denn noch schreiben 
.Nun gut. Mehr ist es nicht
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| 06.03.2014, 21:41 | Seppelkoi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe nie nach einer Komplettlösung verlangt, ich wollte nur in diesem einen einzigen Punkt den ich nicht verstanden habe eine Hilfestellung. Ich habe es nun endlich verstanden. Vielen Dank. |
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| 06.03.2014, 21:45 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann ists ja nun noch gut gegangen
.Gerne, 
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| 07.03.2014, 13:29 | Seppelkoi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also gut, ich hab die Aufgabe von Anfang an jetzt nochmal durchgerechnet, brauche jetzt nur nochmal eine kleine Überprüfung. Als stationäre Punkte habe ich: X1: 0 Y1: 2 X2: 2 Y1: -2 Soweit so gut.
Nun habe ich ja endlich verstanden, was es mit diesem fxy auf sich hat, also habe ich die Hessematrix aufgestellt und überprüfe nun die Bedinung: Ich habe es jetzt so verstanden, dass ich im ersten Fall X1 und Y1 einsetze, also: Ist das so richtig? Weil als Ergebnis kommt dann nämlich -24 raus, was kleiner als Null ist und somit würde es sich bei diesem Punkt um einen Sattelpunkt handeln? Wenn ich analog für X2 und Y2 vorgehe, kommt auch -24 raus
Handelt es sich also bei beiden stationären Punkten um Sattelpunkte?Oder mache ich beim Einsetzen etwas falsch? |
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| 09.03.2014, 13:43 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sry, das ist mir untergegangen. Deine stationären Punkte sind unvollständig. Es gibt noch (2,2) und (0,-2) Bei deinem ersten Post hattest du zumindest ersteren noch. Letzeren hatte ich noch erwähnt. Sonst ist das aber richtig. Die beiden von dir genannte Punkte sind Sattelpunkte. Die obigen beiden Punkte aber nicht. Was gilt für diese?
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| 09.03.2014, 15:41 | Seppelkoi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für deine Antwort, freut mich, dass das schonmal richtig war. Wie kommst du aber auf die beiden anderen von dir genannten stationären Punkte? Das verstehe ich nicht so ganz. Wenn ich fx und fy Null setze, bekomme ich doch nur: X1: 0 X2: 2 Y1: 2 Y2: -2 Oder gibt es da noch mehr? Wie muss ich vorgehen, um die anderen von dir genannten Punkte noch zu bekommen? Muss ich alle Vorzeichen vertauschen? Also: X3: 0 X4: -2 Y3: -2 Y4: 2 ??? |
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| 09.03.2014, 15:43 | Seppekoi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Moment, ich glaube ich hab es... Ich muss X1 und Y1 einsetzen, dann X2 und Y2 Dann kommt aber noch X1 und Y2 und X2 und Y1 richtig? Das wären dann die genannten Punkte von dir... |
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| 09.03.2014, 15:53 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So ist es. df/dx: df/dy: Wenn du aus der ersten Gleichung x = 0 erhältst und in die zweite Gleichung gehst, ist ja für y 2 und -2 möglich. Gleiches gilt für x = 2. Es sind also 4 Punkte die du findest. Wie sieht es mit den beiden Punkte aus. Maxima? Minima? Doch auch Sattelpunkte?
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| 09.03.2014, 16:04 | Seppelkoi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also bei X1/Y2 hab ich 24 raus. Das würde bedeuten, dass es sich um einen Hoch- bzw. Tiefpunkt handelt, da die 2ten Ableitungen mit den Werten jedoch beide kleiner als Null sind, muss ein Hochpunkt sein oder? Analog bei X2/Y1, da kommt auch 24 raus, spricht für einen Hoch- bzw. Tiefpunkt, die 2ten Ableitungen sind jedoch größer Null und hiermit müsste es sich um einen Tiefpunkt handeln
Wenn meine Überlegungen richtig sind
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| 09.03.2014, 16:11 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann ich bestätigen 
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| 09.03.2014, 16:26 | Seppelkoi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke dir! Du hast mir echt super geholfen. Was wäre aber, wenn die Werte in ihrer 2ten Ableitung zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen, d.h. wenn das Kriterium der Hesse Matrix für HP oder TP zwar erfüllt ist (größer Null), man bei X1 in der 2ten Ableitung kleiner Null und bei Y2 in der zweiten Ableitung größer Null wäre? Wäre das ein Widerspruch? Der Punkt ist ja nur nicht definiert, wenn bei der Hesse Matrix Null rauskommt oder? Aber eindeutig als HP oder TP festlegen könnte man den Punkt hier ja dann auch nicht? Das ist jetzt keine Frage die ich beantworten muss es interessiert mich nur. |
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| 09.03.2014, 16:34 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Möchte meine Hand nicht ins Feuer legen (könnte man bestimmt kurz beweisen), aber wenn die Vorzeichen der zweiten Ableitung jeweils unterschiedlich wäre, dann wäre wahrscheinlich auch die Determinante <0 oder so. Will heißen, wenn die Determinante >0 ist und die zweite Ableitung nach x kleiner oder größer Null ist, dann ist es automatisch auch die zweite Ableitung nach y
.Und gerne
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