Integralrechnung: Substitution

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06.03.2014, 21:24	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung: Substitution $\begin{eqnarray} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{\sqrt{x}+1}}~dx \end{eqnarray}$ Idee: $\begin{eqnarray} z=\sqrt{x}+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{\sqrt{x}+1}}~dx=\int \frac{x^{2}}{\sqrt{z}}~dx=\int x^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{z}}~dx=\int x^{2} \cdot z^{-\frac{1}{2}}~dx \end{eqnarray}$ Vielen Dank
06.03.2014, 21:37	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist aber keine Schönheit . Aber soweit ist alles richtig. Würde auch so vorgehen. Eine Substitution ist allerdings solange unvollkommen wie zwei Variablen drin sind. Du musst schon alles durch z ersetzen. Ersetze noch x^2 und dx .
06.03.2014, 21:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was ist mit dem x² und dem dx? Substitution bedeutet ersetzen. Aber was bringt es Dir, wenn Du nur einen Teil ersetzt, den anderen aber stehen lässt? Das ist in etwa so, als würde man bei der Einführung des Euros die Gehälter in Euro auszahlen, die Preise aber nach wie vor in DM ausweisen: Es ist nicht nur unpraktisch, sondern auch unvollständig.
06.03.2014, 21:45	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe. $\begin{eqnarray} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{\sqrt{x}+1}}~dx=\int \frac{x^{2}}{\sqrt{z}}~dx=\int (z-1)^{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{z}}~dx=\int (z-1)^{4} \cdot z^{-\frac{1}{2}}~2 \cdot \sqrt{x} \cdot dz \end{eqnarray}$ Nebenrechnung: $\begin{eqnarray} z=\sqrt{x}+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dz}{dx}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \to dx=2 \cdot \sqrt{x} \cdot dz \end{eqnarray}$ so hier?
06.03.2014, 21:46	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist soweit richtig. Das z im Nenner würde ich dort auch lassen. Nun hast du noch en x. Entferne das .
06.03.2014, 21:50	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man nun $\begin{eqnarray} \sqrt{z} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ kürzen. Die Variable irritiert mich. $\begin{eqnarray} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{\sqrt{x}+1}}~dx=\int \frac{x^{2}}{\sqrt{z}}~dx=\int (z-1)^{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{z}} \cdot 2 \cdot \sqrt{x} \cdot dz=(z-1)^{4} \cdot 2 ~dz \end{eqnarray}$ so hier ?
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06.03.2014, 21:52	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist denn das das gleiche? Im Allgemeinen nicht -> also nein. $\begin{eqnarray} z=\sqrt{x}+1 \end{eqnarray}$ Du hast doch das hier...das sollte helfen .
06.03.2014, 22:01	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich stehe gerade auf der Schleife. Ich vermute: $\begin{eqnarray} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{\sqrt{x}+1}}~dx=\int \frac{x^{2}}{\sqrt{z}}~dx=\int (z-1)^{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{z}} \cdot 2 \cdot (z-1) \cdot dz \end{eqnarray}$ so hier ?
06.03.2014, 22:04	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
So passt es. Sauberer aufgeschrieben: $\begin{eqnarray} 2\int \frac{(z-1)^5}{\sqrt z}\; \dd z \end{eqnarray}$ Mein Vorschlag: Pascalsches Dreieck anwenden und den Zähler ausschreiben (oder falls nicht bekannt: ausmultiplizieren, das wird dann aber mühsam). Dann kann man summandenweise integrieren . Ich bin nun allerdings Richung off. Vllt schaut jmd anderes rein. Sonst würde ich das morgen kontrollieren, was du fabriziert hast. Prinzips sollte aber nun klar sein?
06.03.2014, 22:06	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe nun den Dreh der Substitution raus. Vielen Dank , Equester Ich wünsche dir noch eine wunderschöne Nacht.
06.03.2014, 22:09	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das höre ich doch gerne . Dir auch,
06.03.2014, 22:41	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. $\begin{eqnarray} 2\int \frac{(z-1)^5}{\sqrt z}\; \dd z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (z-1)^{5}=z^{5}-5 \cdot z^{4}+10 \cdot z^{3}-10 \cdot z^{2}+5 \cdot z-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2\int \left(z^{5}-5 \cdot z^{4}+10 \cdot z^{3}-10 \cdot z^{2}+5 \cdot z-1\right) \cdot \frac{1}{\sqrt z}\; \dd z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow 2 \cdot \int z^{\frac{9}{2}}-5 \cdot z^\frac{7}{2}+10 \cdot z^\frac{5}{2}-10 \cdot z^\frac{3}{2}+5 \cdot \sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{z}}~dz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow 2 \cdot \left( \frac{2 \cdot z^\frac{11}{2}}{11} - \frac{10 \cdot z^\frac{9}{2}}{9}+ \frac{20 \cdot z^\frac{7}{2}}{7}-4 \cdot z^\frac{5}{2}+\frac{10 \cdot z^\frac{3}{2}}{3}-2 \cdot \sqrt{z}+C\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow 2 \cdot \left(\frac{2 \cdot \left(\sqrt{x}+1\right)^\frac{11}{2}}{11} - \frac{10 \cdot \left(\sqrt{x}+1\right)^\frac{9}{2}}{9}+ \frac{20 \cdot \left(\sqrt{x}+1\right)^\frac{7}{2}}{7}-4 \cdot \left(\sqrt{x}+1\right)^\frac{5}{2}+\frac{10 \cdot \left(\sqrt{x}+1\right)^\frac{3}{2}}{3}-2 \cdot \sqrt{\sqrt{x}+1}+C\right) \end{eqnarray}$ Das war eine mühsame Rechnung. Edit: Die zwei vor dem Integralzeichen vergessen.
07.03.2014, 08:24	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut .

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