Integral lösen

07.03.2014, 02:05

rth65

Integral lösen

Hallo,
bin mit diesem Integral überfordert
$\begin{eqnarray*} \int \! x*cosx*sin(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

Idee:
Partielle Integration aber keine Idee wie man diese hier anwenden kann.

07.03.2014, 07:38

HAL 9000

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M.E. wäre vorab eine Vereinfachung des Integranden mittels Additionstheorems sinnvoll, d.h.

$\begin{eqnarray*} \cos(x)\sin(nx) = \frac{\sin((n+1)x) + \sin((n-1)x)}{2} \end{eqnarray*}$ .

Vereinfachung in dem Sinne, dass kein Produkt von Winkelfunktionen, sondern nur noch eine Summe solcher da steht, was die anstehende partielle Integration vereinfacht.

07.03.2014, 14:26

rth65

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Danke werde deinen Vorschlag folgen würde aber trotzdem gerne mal wissen wie man eine partielle Integration dieser Größe ohne Vereinfachung lösen kann (nur theoretisch).

07.03.2014, 14:38

HAL 9000

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In dem Fall könnte die partielle Integration so aussehen

$\begin{eqnarray*} \int \underbrace{x}_{=u} \cdot \underbrace{\cos(x)\sin(nx)}_{=v'} ~ \dd x = xv - \int v ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ,

wobei du in einer Nebenrechnung zuvor

$\begin{eqnarray*} v = \int \cos(x)\sin(nx) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

bestimmst.

08.03.2014, 00:38

rth65

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Das ursprüngliche Integral lautete:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} \! x*cosx*sin(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

Habe die Grenzen erstmal weggelassen.
Darf man diese am Ende wieder einfügen so wie ich es gemacht habe oder ist das Falsch?

$\begin{eqnarray*} \int \! x*cosx*sin(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int \! x*cosx*sin(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int \!x*\frac{\sin((n+1)x) + \sin((n-1)x)}{2}\, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int \! x*\frac{sin(nx+x)+sin(nx-x)}{2} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2} \textcolor{red}{\int \! x*sin(nx+x) \, dx }+\frac{1}{2} \textcolor{green}{\int \! x*sin(nx-x) \, dx} \end{eqnarray*}$

Partielle Integration Teil1 (rot):

$\begin{eqnarray*} \int \! u*v' \, dx=u*v-\int \! u'*v \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=-\frac{1}{n+1}*cos(nx+x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=sin(nx+x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{\left[ x*\frac{-1}{n+1}*cos(nx+x)-\int \! 1*\frac{-1}{n+1}*cos(nx+x) \, dx \right]} \end{eqnarray*}$

Partielle Integration Teil2 (grün):

$\begin{eqnarray*} \int \! u*v' \, dx=u*v-\int \! u'*v \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=-\frac{1}{n-1}*cos(nx-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=sin(nx-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \textcolor{green}{\left[ x*\frac{-1}{n-1}*cos(nx-x)-\int \! 1*\frac{-1}{n-1}*cos(nx-x) \, dx \right]} \end{eqnarray*}$

Teil1 und Teil2 zusammengesetzt:
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}*\textcolor{red}{\left[ x*\frac{-1}{n+1}*cos(nx+x)-\int \! 1*\frac{-1}{n+1}*cos(nx+x) \, dx \right]} + \frac{1}{2}*\textcolor{green}{\left[ x*\frac{-1}{n-1}*cos(nx-x)-\int \! 1*\frac{-1}{n-1}*cos(nx-x) \, dx \right]} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}*\left[ x*\frac{-1}{n+1}*cos(nx+x)-\int \! 1*\frac{-1}{n+1}*cos(nx+x) \, dx \right] + \frac{1}{2}*\left[ x*\frac{-1}{n-1}*cos(nx-x)-\int \! 1*\frac{-1}{n-1}*cos(nx-x) \, dx \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}*\left[ x*\frac{-1}{n+1}*cos(nx+x)-\textcolor{blue}{\int \! 1*\frac{-1}{n+1}*cos(nx+x) \, dx} \right] + \frac{1}{2}*\left[ x*\frac{-1}{n-1}*cos(nx-x)-\textcolor{cyan}{\int \! 1*\frac{-1}{n-1}*cos(nx-x) \, dx} \right] \end{eqnarray*}$

Integration Teil blau:

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{\int \! 1*\frac{-1}{n+1}*cos(nx+x) \, dx}=\left[ -\frac{1}{n+1}*\frac{1}{n+1}*sin(nx+x)\right] \end{eqnarray*}$

Integration Teil cyan:

$\begin{eqnarray*} \textcolor{cyan}{\int \! 1*\frac{-1}{n-1}*cos(nx-x) \, dx}=\left[ -\frac{1}{n-1}*\frac{1}{n-1}*sin(nx-x)\right] \end{eqnarray*}$

Wieder eingefügt in:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}*\left[ x*\frac{-1}{n+1}*cos(nx+x)-\textcolor{blue}{\int \! 1*\frac{-1}{n+1}*cos(nx+x) \, dx} \right] + \frac{1}{2}*\left[ x*\frac{-1}{n-1}*cos(nx-x)-\textcolor{cyan}{\int \! 1*\frac{-1}{n-1}*cos(nx-x) \, dx} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}*\left[ x*\frac{-1}{n+1}*cos(nx+x)-\textcolor{blue}{\left[ -\frac{1}{n+1}*\frac{1}{n+1}*sin(nx+x)\right]} \right] + \frac{1}{2}*\left[ x*\frac{-1}{n-1}*cos(nx-x)-\textcolor{cyan}{\left[ -\frac{1}{n-1}*\frac{1}{n-1}*sin(nx-x)\right]} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\left[ -\frac{1}{2}x*\frac{1}{n+1}*cos(nx+x)+\frac{1}{2}*\frac{1}{n+1}*\frac{1}{n+1}*sin(nx+x)-\frac{1}{2}x*\frac{1}{n-1}*cos(nx-x)+\frac{1}{2}*\frac{1}{n-1}*\frac{1}{n-1}*sin(nx-x)\right]_{x=-\pi}^{\pi} \end{eqnarray*}$

08.03.2014, 12:13

HAL 9000

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Scheint soweit zu stimmen, auch wenn nach meinem Geschmack die eine oder ander Formel zu oft per Copy+Paste wiederholt wurde. Augenzwinkern

Noch eine Anmerkung: Falls auch n=1 möglich sein soll, muss dieser Sonderfall noch diskutiert werden.

08.03.2014, 13:55

rth65

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Für n soll alles möglich sein^^
Ich wollte jetzt eigentlich einfach für n=1,2,3,4,5,... einsetzen und schauen was passiert.

$\begin{eqnarray*} =\left[ -\frac{1}{2}x*\frac{1}{n+1}*cos(nx+x)+\frac{1}{2}*\frac{1}{n+1}*\frac{1}{n+1}*sin(nx+x)-\frac{1}{2}x*\frac{1}{n-1}*cos(nx-x)+\frac{1}{2}*\frac{1}{n-1}*\frac{1}{n-1}*sin(nx-x)\right]_{x=-\pi}^{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\left[ -\frac{1}{2}*\left(-\pi\right) *\frac{1}{n+1}*cos(n*\left(-\pi\right) +\left(-\pi\right) )+\frac{1}{2}*\frac{1}{n+1}*\frac{1}{n+1}*sin(n*\left(-\pi\right) +\left(-\pi\right) )-\right.\\\left.\frac{1}{2}*\left(-\pi\right) *\frac{1}{n-1}*cos(n*\left(-\pi\right) -\left(-\pi\right) )+\frac{1}{2}*\frac{1}{n-1}*\frac{1}{n-1}*sin(n*\left(-\pi\right) -\left(-\pi\right) )\right]-\\ \left[ -\frac{1}{2}*\pi *\frac{1}{n+1}*cos(n*\pi +\pi )+\frac{1}{2}*\frac{1}{n+1}*\frac{1}{n+1}*sin(n*\pi +\pi )\right.\\\left.-\frac{1}{2}*\pi *\frac{1}{n-1}*cos(n*\pi -\pi )+\frac{1}{2}*\frac{1}{n-1}*\frac{1}{n-1}*sin(n*\pi -\pi )\right] \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten der folgenden auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [-\pi,\pi \end{eqnarray*}$ ) definierten
und mit $\begin{eqnarray*} f(x+2k\pi)=f(x),k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ,periodisch fortgesetzten Funktionen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x*cosx \end{eqnarray*}$

edit(kgV-8.3,18.22): "leichte" Überbreite behoben. In Zukunft bitte den einen oder anderen Absatz spendieren smile

08.03.2014, 18:14

rth65

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$\begin{eqnarray*} n\neq 1 \end{eqnarray*}$ (nicht definiert)

$\begin{eqnarray*} n=2 -->=-\frac{3}{4}\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=3 -->=\frac{6}{8}\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=4 -->=-\frac{8}{15}\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=5 -->\frac{10}{24}\pi \end{eqnarray*}$

Für ungerade n ohne $\begin{eqnarray*} n\neq 1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{2n}{n^2-1}*\pi \end{eqnarray*}$

Für gerade n gilt:
$\begin{eqnarray*} b_n=-\frac{2n}{n^2-1}*\pi \end{eqnarray*}$

Stimmt das so ?
Ist man dann fertig oder muss man dann noch was machen ?

09.03.2014, 12:52

HAL 9000

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So einfach kann man das nicht abtun

Zitat:

Original von rth65
$\begin{eqnarray*} n\neq 1 \end{eqnarray*}$ (nicht definiert)

Nein: Das Integral ist durchaus auch für n=1 definiert - nur deine Auswertung passt nicht für diesen Fall. unglücklich

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