Extremwertaufgabe kürzester Abstand

07.03.2014, 11:43

Robert93

Extremwertaufgabe kürzester Abstand

Meine Frage:
Hey Leute,
komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} =\begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Welcher Punkt der Geraden g besitzt den kürzesten Abstand zum Nullpunkt?

Meine Ideen:
Da es sich hier um eine Extremwertaufgabe handelt muss ich irgendwie den Abstand vom Nullpunkt zur Geraden in eine Funktion packen.
Diese Funktion hätte ich dann abgeleitet und nach einem Tiefpunkt untersucht.

Mit einer Geraden im 2-Dim. hätte ich keine Probleme.
Aber wie mache ich das hier?

07.03.2014, 11:44

Bürgi

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RE: Extremwertaufgabe kürzester Abstand
Hallo,

zu welchem Punkt soll denn ein Abstand bestimmt werden?

07.03.2014, 11:58

Robert93

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RE: Extremwertaufgabe kürzester Abstand
Oh entschuldigung Big Laugh

Irgendwie verdaddelt:

Welcher Punkt der Geraden g besitzt den kürzesten Abstand zum Nullpunkt?

07.03.2014, 12:03

Bürgi

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RE: Extremwertaufgabe kürzester Abstand
Hallo,

bestimme die Entfernung zwischen einem beliebigen Geradenpunkt und dem Ursprung.

Zwei Punkte A und B, mit den Ortsvektoren $\begin{eqnarray*} \textstyle \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \textstyle \vec b \end{eqnarray*}$ haben die Entfernung
$\begin{eqnarray*} d = \sqrt{(\vec a - \vec b)^2} \end{eqnarray*}$

Noch ein Typ: Du suchst die kürzeste Entfernung. Wenn d minimal ist, dann ist auch d² minimal. Dieser Ansatz vereinfacht Deine Berechnungen maximal.

EDIT: Bin in ca. 1 Stunde wieder on.

07.03.2014, 13:24

Robert93

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RE: Extremwertaufgabe kürzester Abstand
okay danke, bin mit deinem Tipp folgendermaßen vorgegangen:

Für dei Entfernung eines beliebigen Geradenpunkts und dem Nullpunkt habe ich als beliebigen Geradenpunkt den Ortsvektor genommen:

Also: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit habe ich also mit

$\begin{eqnarray*} d = \sqrt{(\vec a - \vec b)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d= \sqrt{2²+7²+1²} = \sqrt{4+49+1}= \sqrt{54} \end{eqnarray*}$

.. hmm komme ich damit irgendwie weiter?
Kann das ja schlecht ableiten...

07.03.2014, 13:39

Dopap

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RE: Extremwertaufgabe kürzester Abstand
dein beliebiger Punkt der Geraden ist :

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec x -\vec o=\vec x \end{eqnarray*}$

also ist $\begin{eqnarray*} d(\lambda ) = \sqrt {\vec x ^2} =|\vec x | \end{eqnarray*}$

jetzt hast du eine Variable im Abstand.

07.03.2014, 14:45

Robert93

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RE: Extremwertaufgabe kürzester Abstand
hmm gut dann muss ich ja jetzt die Ableitung von $\begin{eqnarray*} ||\vec{x}||_{2} \end{eqnarray*}$ bilden

So wie man da alleine draufkommen soll ist mir ein Rästel. Habe die Ableitung nachgeschlagen und habe somit:

$\begin{eqnarray*} d'(\lambda ) = \frac{x}{|x|} \end{eqnarray*}$

So jetzt muss ich ja für die Extremwerte die 1. Ableitung Nullsetzen.
Also müsste ich doch x=0 machen.

ABER!!!! das geht ja nicht, weil sonst unter dem Bruch Null stehen würde.
Was also tun?
Bitte um Hilfe unglücklich

07.03.2014, 15:25

mYthos

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Abgesehen davon, dass die Ableitung so nicht stimmt, steht im Nenner nicht Null, sondern das wäre der Betrag des Vektors OX.
------------
Weiterer Tipp:
Du kennst doch die Abstandsformel (--> Distanzformel) für zwei beliebige Punkte.
Da drinnen ist eine Quadratwurzel. Damit man die Wurzelfunktion nicht ableiten muss, nützt man die Tatsache, dass auch das Quadrat des Abstandes ein Minimum werden muss ...

mY+

07.03.2014, 15:27

Dopap

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RE: Extremwertaufgabe kürzester Abstand
dein beliebiger Punkt der Geraden ist :

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -2 +2 \lambda \\ 7 - \lambda\\ 1 -\lambda\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und damit ist

$\begin{eqnarray*} d(\lambda ) =\sqrt {( -2 +2 \lambda )^2 + ( 7-\lambda )^2 +(1-\lambda )^2} \end{eqnarray*}$

es genügt, die Ableitung von $\begin{eqnarray*} d(\lambda)^2 \end{eqnarray*}$ zu ermitteln.

07.03.2014, 18:25

Robert93

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RE: Extremwertaufgabe kürzester Abstand
okay danke euch.

Das mit dem quadrieren war ein super Tipp.
Habe dann als Funktion $\begin{eqnarray*} d(\lambda )=6*\lambda ²-24*\lambda +54 \end{eqnarray*}$

Die Ableitung davon 0 gesetzt bekomme ich $\begin{eqnarray*} \lambda=2 \end{eqnarray*}$

Zur Überprüfung noch in die 2. Ableitung eingesetzt. Es bestätigt sich als Tiefpunkt.

Dann noch in $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ eingesetzt, bekomme ich als Punkt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heraus.

Ist das soweit richtig?

07.03.2014, 18:38

Dopap

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RE: Extremwertaufgabe kürzester Abstand
$\begin{eqnarray*} dq(\lambda )=6*\lambda ^2-24*\lambda +54 \end{eqnarray*}$
---------------------------------------------------------------------------------
ja, richtig!

Auf die 2.te Ableitung kann verzichtet werden.

Apropos als Test: der Ortsvektor muss senkrecht zum Richtungsvektor sein !

stimmt das, und könnte man das nicht zur Berechnung verwenden verwirrt

07.03.2014, 19:12

mYthos

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RE: Extremwertaufgabe kürzester Abstand

Zitat:

Original von Dopap
...
Auf die 2.te Ableitung kann verzichtet werden.
...

Das sehe ich etwas anders.
Auch wenn es hier nur ein Minimum geben kann: Schlecht ist die Prüfung auf das Extremum allemal nicht und es kostet auch (fast) nichts.

mY+

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