Betragsfunktion integrieren

07.03.2014, 16:38	Robert93	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsfunktion integrieren Meine Frage: Hey Leute, komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Besitzt die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\int_{-1}^{x} \! \|t\| \, dt \end{eqnarray}$ relative Extremwerte? Meine Ideen: Ich hänge schon an der Integration einer Betragsfunktion. Wie funktioniert das? Habe das mal einfach ohne BEtragsstriche gemacht: erhalte dann für das Integral: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x²-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Ich weiß allerdings, dass das falsch ist, da ich die Betragsstriche völlig missachtet habe. Wie löst man so eine Aufgabe? Bitte um Hilfe
07.03.2014, 19:14	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
man kann auch erstmal überlegen: wenn du mit einem senkrechten Papierstreifen von x=-1 ausgehend nach rechts fortschreitend den Flächenzuwachs beobachtest, dann kannst du " sehen" , dass der Flächeninhalt monoton zunimmt. Also keine Chance für ein Extrema.
10.03.2014, 10:47	Robert93	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe die Funktion mal ein ein Taschenrechner eingegeben: (siehe Anhang) aber wie kann man sowas direkt sehen? Ich kann mir beim besten willen nicht vorstellen wie man drauf kommt, dass \|t\| wie im Bild aussieht. Und 2. Frage: Angenommen man könnte sowas nicht direkt sehen. Wie berechnet man ein Integral einer Betragsfunktion?
10.03.2014, 12:23	360°	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Integral kann man auch ohne zu integrieren bestimmen: Lass dir mal die Funktion zeichnen, dann erkennst du, dass das Integral einer Summe von Dreicken entspricht. Edit: Dein Anhang zeigt nicht die Funktion $\begin{eqnarray} \|t\| \end{eqnarray}$ an.
10.03.2014, 12:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die direkte Überlegung, wie von Dopap vorgeschlagen, ist auf jeden Fall vorzuziehen. Denn man argumentiert dabei nicht formal, sondern inhaltlich. Trotzdem will ich auch noch eine formale Lösung vorschlagen. Denn deine formale Lösung ist grottenfalsch. Du sagst so nebenbei "habe das mal einfach ohne Betragsstriche gemacht". Ach! Und wenn dich eine Wurzel stört, dann läßt du auch die Wurzel weg? Und wenn dir die Zahlen zu groß sind, dann machst du sie einfach kleiner? Was ist denn das für eine Art, Mathematik zu betreiben! Man kann auch zur Betragsfunktion $\begin{eqnarray} g(x) = \|x\| \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion angeben, nämlich $\begin{eqnarray} G(x) = \frac{1}{2} x \cdot \|x\| \end{eqnarray}$ Du solltest dir einmal überlegen, warum das richtig ist. Dabei mußt du nämlich auch inhaltlich argumentieren. Jetzt gehen wir aber einmal von der Richtigkeit aus. Dann folgt: $\begin{eqnarray} f(x) = \int_{-1}^x \|t\| ~ \dd t = G(x) - G(-1) = \frac{1}{2} x \cdot \|x\| - \frac{1}{2} \cdot (-1) \cdot \left\| -1 \right\| = \frac{1}{2} x \cdot \|x\| + \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ So wird ein Schuh daraus. Wie kommt man auf $\begin{eqnarray} G(x) \end{eqnarray}$ ? Man kann es z.B. so machen: $\begin{eqnarray} G(x) = \int_0^x \|t\| ~ \dd t \end{eqnarray}$ Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist $\begin{eqnarray} G(x) \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} g(x) = \|x\| \end{eqnarray}$ . Jetzt nehmen wir erst einmal $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} G(0) = \int_0^0 \|t\| ~ \dd t = 0 \end{eqnarray}$ Dann nehmen wir ein $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ . Das Integral berechnet dann den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken $\begin{eqnarray} O=(0,0), \, A=(x,0), \, B=(x,x) \end{eqnarray}$ (zeichne dir einfach den Graphen der Betragsfunktion, um das zu sehen). Das Dreieck ist rechwinklig mit $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ als Länge beider Katheten, so daß $\begin{eqnarray} G(x) = \int_0^x \|t\| ~ \dd t = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{1}{2} x^2 \end{eqnarray}$ Und jetzt $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ . Es wird ein bißchen komplizierter. Die Fläche ist wieder ein Dreieck mit den Ecken $\begin{eqnarray} O,A,B^{}=(x,-x) \end{eqnarray}$ (und negativem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ). Weil aber von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ integriert wird, also in die falsche Richtung, muß der Flächeninhalt nachträglich negativ bewertet werden. Jetzt überlege: Wie mußt du den Term wählen, daß sich für ein negatives $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray*}$ auch ein "negativer Flächeninhalt" ergibt?

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