Cauchy'scher Hauptwert

07.03.2014, 17:15

Physinetz

Cauchy'scher Hauptwert

Hallo,

habe in einer physikalischen Herleitung etwas von einem "Cauchy'schen Hauptwert" gelesen, was ich nun gerne verstehen würde. So wie ich verstanden habe: für ein uneigentliches Integral kann ich auf diese Weise einen Wert erhalten. Dazu nähere ich mich von beiden Seiten dem kritischen Wert. Bsp: f(x) = 1/x --> dann wäre der kritische Wert an den ich mich annähere: 0

Hier das Beispiel welches mir aber nicht klar ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \frac{y'}{y-y'}dy' \end{eqnarray*}$

Folglich sind $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ Konstanten.

Die kritische Stelle ist für mich bei $\begin{eqnarray*} y'=y \end{eqnarray*}$ , dann wird der Nenner 0.

Das Ergebnis lautet zumindest:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \frac{y'}{y-y'}dy'=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \left [ \int_{-\frac{b}{2}}^{y'=y-\varepsilon} \frac{y'}{y-y'}dy' - \int_{y'=y+\varepsilon}^{\frac{b}{2}} \frac{y'}{y'-y}dy' \right ] \end{eqnarray*}$

Wenn ich das mit der Definition bei wikipedia zu Cauchy anschaue, dann passt das eigentlich alles bis auf:
Das Minuszeichen zwischen den Integralen
und
im zweiten Integral wird der Nenner vertauscht: Aus y-y' wird y'-y

a) Was hat es damit auf sich?

b) Wieso sind eigentlich die Grenzen einmal $\begin{eqnarray*} y-\varepsilon \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} y+\varepsilon \end{eqnarray*}$ ...das hat doch irgendwas mit der Annäherung von links oder rechts an die kritische Stelle zu tun - nur so ganz kann ich mir das nicht vorstellen.

Wäre cool wenn sich jmd mit Cauchy auskennt und helfen könnte!

Dankeschön Freude

08.03.2014, 23:38

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Cauchy'scher Hauptwert

Zitat:

Original von Physinetz
Wenn ich das mit der Definition bei wikipedia zu Cauchy anschaue

Den Namen "Cauchy" verbindet man keineswegs nur mit dem Cauchyschen Hauptwert. Viel eher mit Cauchy-Folgen und dem Cauchy-Integralsatz. Und auch da sagt man nicht "zu Cauchy" o.ä. Man sagt höchstens, dass eine Folge "Cauchy" ist, aber auch das ist selten.

Zitat:

Das Minuszeichen zwischen den Integralen
und
im zweiten Integral wird der Nenner vertauscht: Aus y-y' wird y'-y

Der Nenner wird nicht "vertauscht". Worin unterscheiden sich denn $\begin{eqnarray*} y-y' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'-y \end{eqnarray*}$ ? Kannst du damit erklären, wie die beiden genannten Dinge zustandekommen?

Zitat:

b) Wieso sind eigentlich die Grenzen einmal $\begin{eqnarray*} y-\varepsilon \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} y+\varepsilon \end{eqnarray*}$ ...das hat doch irgendwas mit der Annäherung von links oder rechts an die kritische Stelle zu tun - nur so ganz kann ich mir das nicht vorstellen.

Einmal integrierst du bis "kurz vor $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ " – also bis $\begin{eqnarray*} y-\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Und dann beginnt die Integration bei "kurz nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ – also bei $\begin{eqnarray*} y+\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Wichtig ist noch, dass $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , was sich ja intuitiv von selbst versteht Augenzwinkern

09.03.2014, 20:10

Physinetz

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort.

Zitat:

Worin unterscheiden sich denn $\begin{eqnarray*} y-y' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'-y \end{eqnarray*}$ ? Kannst du damit erklären, wie die beiden genannten Dinge zustandekommen?

Fragst Du mich und weißt die Antwort, oder ist das eine Frage an mich und du weißt die Antwort nicht :-) ?

09.03.2014, 20:13

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf die erste Frage weiß ich die Antwort. Auf die zweite (ob du die Erklärung finden kannst) natürlich nicht Augenzwinkern

10.03.2014, 21:00

Physinetz

Auf diesen Beitrag antworten »

ok Fazit: Du weißt auch nicht warum man hier vertauscht?

Ist vielleicht einfach ein Rechenfehler in der Lösung dann?

10.03.2014, 21:04

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Physinetz
ok Fazit: Du weißt auch nicht warum man hier vertauscht?

Doch...
Dir dürfte es sicher auch klar werden, wenn du die Frage
"Worin unterscheiden sich denn $\begin{eqnarray*} y-y' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'-y \end{eqnarray*}$ ?"
beantwortest.

Zitat:

Ist vielleicht einfach ein Rechenfehler in der Lösung dann?

Nein.

Neue Frage »

Antworten »

Cauchy'scher Hauptwert

Verwandte Themen