Baumwachstum vergleichen

07.03.2014, 18:26	leo111	Auf diesen Beitrag antworten »
Baumwachstum vergleichen Im Folgenden wird eine Buche betrachtet, deren Höhenwachstum durch die Funktion f mit der Gleichung $\begin{eqnarray} f(x)= 35(1-e^{\frac{-1}{50}x})^{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ modelliert wird. Eine zweite Buche ist mit der Wachstumsgeschwindigkeit g' beschrieben: g'(x)= $\begin{eqnarray} 1,1(e^{\frac{-1}{50}x}-e^{\frac{-1}{25}x }) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ . - Begründen Sie, dass die erste Buche zu jedem Zeitpunkt x>0 eine höhere Größe als die zweite hat. Also ich habe mir gedacht, dass ich g'(x) aufleiten könnte und c dann so wähle, dass G(0)=0 gilt. Dann habe ich die Differenzfunktion von f(x) und G(x) gebildet: d(x)= f(x)-G(x) Wenn f(x) immer größer ist als G(x), dann muss gelten: d(x)>0 für x> 0 gilt dies, dann stimmt die Behauptung. Nur irgendwie erhalte ich ein sehr sehr langes (!) Ergebnis, an dem ich noch nicht einmal ablesen kann, ob die Bedingng erfüllt ist. Kann mir da jemand helfen? Danke im Voraus!
07.03.2014, 20:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, du musst g'(x) integrieren. Du kannst allerdings dort auf die Integrationskonstante C nicht verzichten, denn sie ist NICHT Null. C berechnet sich zu 27.5 (bei x = 0 ist g(x) = 0) Die Funktionendifferenz f(x) - g(x) lautet demnach $\begin{eqnarray} f(x) - g(x) = 7.5 + 20e^{-\frac x {50}} - 27.5 e^{-\frac x {25}} \end{eqnarray}$ Dort hast du nun zu zeigen, dass diese bei positiven x größer oder gleich Null ist. mY+
07.03.2014, 20:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Analysis Buchegrößen vergleichen $\begin{eqnarray} f(x)= 35 \cdot (1-e^{-\frac{x}{50}})^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g'(x)=1.1e^{-\frac{x}{50}}-1.1e^{-\frac{x}{25}} \end{eqnarray}$ beide mit $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ . Ist eine Anfangshöhe von Buche 2 gegeben? Denn sonst könnte sie zu Beginn ja größer sein. Ansonsten wäre in der Formulierung x>0 noch drinnen, dass die Buchen zu Beginn gleich groß sind. Für den Fall sollte man dann auch seine Untersuchungen machen, denn dann gilt es auch für alle "zweiten" Buchen, die kleiner sind als die erste. Bei den erhaltenen Startwerten fangen die Bäumchen ja gerade erst an das Erdreich zu verlassen. $\begin{eqnarray} f(0) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x) = -55e^{-\frac{x}{50}} + 27.5e^{-\frac{x}{25}} + C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(0) = 0 \Leftrightarrow c = 27.5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x) = -55e^{-\frac{x}{50}} + 27.5e^{-\frac{x}{25}} + 27.5 \end{eqnarray}$ edit: mYthos war schneller.
08.03.2014, 14:02	leo111	Auf diesen Beitrag antworten »
das habe ich auch gemacht... also stimmt das Ergbenis (auf der Datei?) :-0 bei g(x) hat jetzt c=55/2
08.03.2014, 18:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
C stimmt, aber die Tabelle kann ich nicht nachvollziehen, bei f(x) sollte kein Quadrat stehen, wo kommt das her? Bei mir ist $\begin{eqnarray} d = f(x) - g(x) = 7.5 + 20 e^{-\frac x {50}} - 27.5 e^{-\frac x {25}} \end{eqnarray}$ Natürlich wird man da noch bestimmte e-Potenzen ausklammern, um die Abschätzung zu erleichtern. Bei x = 0 ist die Differenz Null, bei allen anderen positiven x-Werten muss sie positiv sein. Forme d etwa so um $\begin{eqnarray} d = 2.5(3 + e^{-\frac x {50}}(8 - 11e^{-\frac x {50}})) \end{eqnarray}$ Der rechte Klammerausdruck ist > -3, der Faktor davor < 1, somit das Produkt ebenfalls > -3 und die ganze Klammer positiv, Punkt! Das CAS macht das eher noch komplizierter ... mY+
08.03.2014, 19:32	leo111	Auf diesen Beitrag antworten »
aber meine Funktionsgleichung beinhaltet bei f(x) das Quadrat... aber trotzdem danke! Dann stimmt schon mal der Ansatz!
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08.03.2014, 19:46	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, das Quadrat ist mir entgangen! Es wird aber ähnlich gehen, versuche jedenfalls ohne CAS zu rechnen, solange es um algebraische Umformungen geht. mY+
09.03.2014, 11:08	leo111	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!

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