Substitution (Integration)

07.03.2014, 20:34

AJM

Substitution (Integration)

Edit (mY+): Bitte keine Hilfeersuchen, diese haben hier nichts verloren, schon gar nicht im Titel. Titel modifiziert.

Ich habe versucht mal eine eigene Substitutionsaufgabe zu stellen... Diese sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{2+3x}{5+2x^2} \end{eqnarray*}$

Hab also Nenner wie gewohnt substituiert:

$\begin{eqnarray*} dx=dz/4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2+3x}{z} * \frac{dz}{4x} \end{eqnarray*}$

Gehe ich recht der Annahme dass ich die x kürzen kann?

$\begin{eqnarray*} \frac{2+3}{z} * \frac{dz}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{4} \int \frac{1}{z} dz \end{eqnarray*}$

Ist das bis jetzt in Ordnung so? Oder ist die Substitution generell der falsche ANsatz dafür? Ich frage weil Wolfram voll die komplizierte Lösung rausspuckt unglücklich

07.03.2014, 20:47

klauss

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RE: Kann mir jemand bei der Substitution helfen?
So kann man aus einem Bruch natürlich nicht kürzen. Grundrechenregeln mißachtet! Denn die 2 im Zähler müßte natürlich auch durch x geteilt werden.

Hier einfach den Bruch in zwei aufteilen (Bei WolframAlpha ganz unkompliziert: "Expanded form"), dann kann man den einen durch Substitution integrieren und den anderen durch entsprechende Umformung als Ableitung des Arcustangens schreiben.

08.03.2014, 00:08

AJM

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also:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5+2x^2} + \frac{3x}{5+2x^2} \end{eqnarray*}$

welcher davon soll das mit der arctan Umformung sein? Der Linke oder? Wie soll das denn bitte gehen?

08.03.2014, 01:03

AJM

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also, ich habe jetzt mit diesr Formel hier versucht "umzuformen": $\begin{eqnarray*} x^{n} dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{2x^2+5} <br /> = \frac{2}{5}\int \frac{1}{-2+1}*2x^{-2+1}<br /> = -\frac{2}{5}*2x^{-1} <br /> = -\frac{2}{5+2x} \end{eqnarray*}$
Ok, mir fällts das schon schwer. HIer hab ich ja wieder gegen eine Regel verstoßen unglücklich

09.03.2014, 10:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von AJM
also, ich habe jetzt mit diesr Formel hier versucht "umzuformen": $\begin{eqnarray*} x^{n} dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} \end{eqnarray*}$

Das geht natürlich nicht, denn bei genauem Hinsehen hast du keinen Term der Form $\begin{eqnarray*} x^n dx \end{eqnarray*}$ . Du mußt erstmal beide Brüche mit einer Substitution behandeln. Und bei $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2x^2+5} \end{eqnarray*}$ muß man so substituieren, so daß man auf den Arcus-Tangens als Stammfunktion kommt. Das setzt natürlich voraus, daß man die Ableitung des Arcus-Tangens kennt. Die erforderliche Substitution ist $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{2,5} u \end{eqnarray*}$ . smile

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