Separable DGL - Probleme bei Umkehrfunktion

07.03.2014, 23:08	Majooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Separable DGL - Probleme bei Umkehrfunktion Folgende separable DGL ist gegeben $\begin{eqnarray} y'=2t\sin(2y) \end{eqnarray}$ Mein erster Schritt war die Trennung der Variablen und anschließende Integration. Also erstmal: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{sin2y} \, dy = \int \! 2t \, dt \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} ln\|tany\| =2t²+c \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \|tany\|=e^{2t²+c} \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} tany=e^{2t²} c \end{eqnarray}$ mit c !=0 Achja: Hier wird in der Klausur-Musterlösung der Betrag plötzlich weggelassen. Wieso? Nun der eigentliche Schritt den ich nicht verstehe: $\begin{eqnarray} y(t)= k \pi +arctan(ce^{2t²}) \end{eqnarray*}$ mit k aus Z und c aus R Woher kommen die k pi? Hatte die Tage so eine ähnliche Aufgabe... Ich vermute also, dass es wieder mit der Umkehrfunktion des tangens zu tun hat. Hoffe mir kann wieder jemand helfen
07.03.2014, 23:27	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Separable DGL - Probleme bei Umkehrfunktion Die Zeile unter den Integralen ist schon falsch z.B. muß auf der rechten Seite stehen: $\begin{eqnarray} t^{2} +C \end{eqnarray}$ Auch die linke Seite ist falsch. Das siehst Du, wenn Du den Term ableitest.
07.03.2014, 23:49	Majooo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Separable DGL - Probleme bei Umkehrfunktion Das sollte eigentlich stimmen. Das Integral von dem 1/sin(2y)-Ausdruck ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} ln\|tany\|+c \end{eqnarray}$ Hab den Schritt nur übersprungen, wo ich beide Seiten mit 2 multipliziert habe. Die Konstanten hab ich dann zusammengefasst. Das Integral habe ich mit Hilfe meiner Formelsammlung rausbekommen. Hab daher keine Probe gemacht. In der Musterlösung ist allerdings genau dasselbe rausgekommen, deswegen hab ichs auch nicht weiter in Frage gestellt. Wie sähe das Integral denn sonst aus?
07.03.2014, 23:58	Majooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe aber gerade die Probe gemacht und mal abgeleitet. Das Integral ist korrekt. $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} ln\|tany\|+c \end{eqnarray}$ abgeleitet ergibt $\begin{eqnarray} \frac{1}{2tany} \frac{1}{cos²y} \end{eqnarray}$ . Schreibt man den tangens als cosy/siny, kürzt sich ein cosy weg. Das im Nenner übriggebliebene kann man dann mittels Additionstheorem für sinxcosy zu sin2y zusammenfassen.
08.03.2014, 00:11	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Separable DGL - Probleme bei Umkehrfunktion Ja wenn Du die Zeile übersprungen hast, stimmt das. Das wußte ich nicht. ich habe als Ergebnis erhalten: $\begin{eqnarray} y= arc tan( C e^{2 t^2} ) \end{eqnarray}$ Die kleinste Periode der TAN Funktion ist k PI , denke das hängt damit zusammen, aber diese Lösung ist durchaus etwas ungewöhnlich. Ich würde mich an Deiner Stelle davon nicht beeindrucken lassen.
08.03.2014, 01:06	Majooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das wäre halt auch meine Lösung gewesen. Wie das +kpi begründet ist... keine Ahnung. Nicht beeindrucken lassen... ich wünschte das könnte ich. Aber irgendwie stresst mich das gerade sehr Man hat halt noch zwei Anfangswerte gegeben und soll dafür jeweils die Lösung angeben. In der Musterlösung wird halt auch gesagt, für welches "k" die Lösung des Anfangswertproblems gilt. Deswegen glaub ich, hat das schon einen Grund. Naja, ich muss wohl nächste Woche mal den Prof aufsuchen. Ich schreib den Grund dann mal hier rein, sofern ich ihn dann verstanden habe
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »