Stufenform

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08.03.2014, 10:57	Kathi_94	Auf diesen Beitrag antworten »
Stufenform Meine Frage: Guten Morgen! Ich habe eine kurze Frage: wenn ich eine 4x4 matrix in stufenform bringe und alle spalten linear unabhängig sind, also in jeder spalte ein pivot steht, gibt es dann nur eine lösung und zwar 0? Meine Ideen: da man ja (um eine andere lösung als 0 zu erhalten) einfach die spalte ohne pivot nehmen muss und das dann mithilfe der anderen spalten "ausgleichen" muss, das abeer in meinem fall nicht geht, vermute ich, dass es keine andere lösung als 0 gibt. lieg ihc da richtig? danke
08.03.2014, 11:26	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stufenform Wieso 0? Das hängt ganz von der rechten Seite ab.
08.03.2014, 11:30	Kathi_94	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stufenform und wenn auf der rechten seite 0 steht?
08.03.2014, 11:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stufenform Dann ist der Nullvektor als Lösung richtig.
08.03.2014, 11:40	Kathi_94	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stufenform super! aber gilt das dann auch, wenn es mehr gleichungen als unbekannte gibt?
08.03.2014, 11:57	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stufenform Vektoren lassen sich immer trivial (0) zum Nullvektor kombinieren. Interessant wird es ja erst bei der Frage, ob das die einzige Möglichkeit ist. Mehr Gleichungen heißt noch nicht, dass da auch mehr Information drin steckt. Schwebt dir ein spezielles Beispiel vor?
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08.03.2014, 12:00	Kathi_94	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stufenform Ja, ich habe 2 UVR gegeben und soll den durchschnitt berechnen. ein UVR wird von 2 vektoren mit der dim 4 erzeugt, der andere von nur einem vektor mit dim 4. somit habe ich nur 3 unbekannte aber 4 gleichungen.
08.03.2014, 12:01	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stufenform Gib die Aufgabe am besten mal ganz konkret an. Dann kümmern wir uns gemeinsam darum.
08.03.2014, 12:04	Kathi_94	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stufenform U1 = <(1,1,0,1),(0,1,1,2)> U2 = <(1,0,0,1)> Und nun soll ich den Durchschnitt von U1 und U2 berechnen
08.03.2014, 12:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stufenform Ok, da der eine UVR nur die Dimension 1 hat, ist der Schnitt eben nur der Nullvektorraum oder ganz U2. Damit ist die Frage, ob sich der Basisvektor von U2 sich aus den Basivektoren von U1 linear kombinieren lässt. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da U1 die Dimension 2 besitzt (folgt aus den ersten Einträgen in beiden Vektoren), könnte man auch prüfen, welchen Rang die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat. Bei Rang 3 sind die 3 Vektoren lu, damit besteht der Schnitt nur aus dem 0VR. Bei Rang 2 folgt, da die Spalten 1 und 2 lu sind, dass sich der dritte Vektor aus den ersten beiden linear kombinieren lässt. Zu welchem Ergebnis kommst du?
08.03.2014, 12:15	Kathi_94	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stufenform also müsste ich jetzt prüfen, welchen rang die matrix hat?
08.03.2014, 12:17	Kathi_94	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stufenform Bei mir kommt rang 3 heraus, da ich 3 pivots habe
08.03.2014, 12:25	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stufenform Variante 1: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aus der Stufenform der ersten 2 Zeilen folgen die Forderungen $\begin{eqnarray} \lambda 1 = 1, \lambda_2 =-1 \end{eqnarray}$ . Man sieht sofort, dass dann die dritte Gleichung nicht erfüllt ist, also hat das LGS keine Lösung. Die Schnittmenge ist der 0VR. Variante 2: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0& 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also Rang 3, daher ist die Schnittmenge ist der 0VR.
08.03.2014, 12:49	Kathi_94	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stufenform Wow, danke!! Echt lieb, langsam schein ichs echt zu kapieren :-)!!!
08.03.2014, 13:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stufenform Dann viel Erfolg bei den weiteren Aufgaben.

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