bestimmung von KF und kv (x) einer ganzrationale Funktion 3. Grades

08.03.2014, 12:52

valaia

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bestimmung von KF und kv (x) einer ganzrationale Funktion 3. Grades

Meine Frage:
Hallo!

Ich beschäftige mich mit folgender Aufgabe gerade:

Ein Monopolist hat sich für sein Produkt die Preisabsatzfunktion Pn(x)=-3,5x + 70 ermittelt.
Seine Gesamtkostenfunktion lässt sich durch die ganzrationalen Funktion 3. Grades annähern durch: K (x)= x³-10x²+43x+72

A) Bestimme KF und kv (x)

Meine Ideen:
Ich hätte ja einfach gesagt, dass die 72 die Fixe Kosten sind, weil da kein X hinter steht und man für kv (x) die Funktion irgendwie so umstellen muss, dass man eine quadratische Funktion rausbekommt. Aber ich habe überhaupt keine Ahnung, ob das auch nur annähernd richtig ist unglücklich

unglücklich

Würde mich sehr über Hilfe freuen!

08.03.2014, 13:03

Kasen75

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RE: bestimmung von KF und kv (x) einer ganzrationale Funktion 3. Grades

Zitat:

Original von valaia
[Meine Ideen:
Ich hätte ja einfach gesagt, dass die 72 die Fixe Kosten sind, weil da kein X hinter steht ...

Hallo,

das ist richtig. Jetzt muss ich noch einmal nachfragen: Sind mit kv(x) die variablen Stückkosten gemeint oder meinst du nicht doch $\begin{eqnarray*} K_v(x) \end{eqnarray*}$ (variable Kosten) ?

Grüße

08.03.2014, 13:09

valaia

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Danke für die schnelle Antwort smile

smile

Auf meinem Arbeitsblatt steht kv (x)... Kann das etwa nicht sein?

08.03.2014, 13:18

Kasen75

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Das kann sehr gut sein. Ich wollte mich nur vergewissern. Es sollte die Funktion für die variablen Stückkosten damit gemeint sein.

Man muss erst einmal die Funktion für die variablen Kosten, $\begin{eqnarray*} K_v(x) \end{eqnarray*}$ , bestimmen:

$\begin{eqnarray*} K_v(x)=K(x)-K_f \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_f=72 \end{eqnarray*}$ hast du schon bestimmt. K(x) ist gegeben.

Dann ist $\begin{eqnarray*} k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x} \end{eqnarray*}$

08.03.2014, 13:27

valaia

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Das bedeutet, ich muss überall ein x einfach nur abziehen, richtig?
Und die Fixe Kosten, 72, entfallen auch...
Die Antwort müsste dann lauten : x²-10x+43

Schreibe ich die beiden Ergebnisse so hin ?

KF(X) = 72 GE
Kv (x) = x²-10x+43

08.03.2014, 13:40

Kasen75

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Zitat:

Original von valaia
Das bedeutet, ich muss überall ein x einfach nur abziehen, richtig?

"x einfach abziehen" ist nicht wirklich die richtige Beschreibung, für das was man tun muss. Besser ist es zu sagen, dass man bei den jeweiligen Exponenten 1 abzieht. Oder man teilt einfach alle Summanden durch x.

Aber in dem Sinne wie du es gemeint hast, ist es richtig.

Zitat:

Original von valaia
Und die Fixe Kosten, 72, entfallen auch...
Die Antwort müsste dann lauten : x²-10x+43

Schreibe ich die beiden Ergebnisse so hin ?

KF(X) = 72 GE
Kv (x) = x²-10x+43

KF ist nicht von x abhängig. Deswegen schreibt man "nur" $\begin{eqnarray*} K_f=72 \ GE \end{eqnarray*}$

Du hast doch jetzt die variablen Stückkostenfunktion ermittelt und nicht die variable (Gesamt-)Kostenfunktion.

Deswegen ist $\begin{eqnarray*} k_v(x)=x²-10x+43 \end{eqnarray*}$ richtig. Also (kleines) k. Deswegen hatte ich noch einmal nachgefragt. Man muss hier zwischen Groß- und Kleinschreibung der Variablen unterscheiden.

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08.03.2014, 13:50

valaia

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Hups, da hatte ich mich vertippt! Ich meinte kv smile

smile

Okay, muss für kv immer als Lösung eine Funktion rauskommen, so das man theoretisch die PQ-Formel anwenden könnte?
Oder könnte bei einer anderen Aufgabe auch nur 10x-43 rauskommen?
Ich hoffe, dass meine Frage verständlich ist!

08.03.2014, 13:57

Kasen75

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Zitat:

Original von valaia

Okay, muss für kv immer als Lösung eine Funktion rauskommen, so das man theoretisch die PQ-Formel anwenden könnte?

Nein.

Zitat:

Original von valaia
Oder könnte bei einer anderen Aufgabe auch nur 10x-43 rauskommen?

Ja. Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} K(x)=10x^2-43x+100 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von valaia

Ich hoffe, dass meine Frage verständlich ist!

Ja.

smile

08.03.2014, 14:23

valaia

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Danke sehr !

Ich habe da leider noch ein paar fragen Big Laugh

Big Laugh

Mittlerweile bin ich bei der E) von der Aufgabe angekommen.
Diese lautet: In welchem Bereich produziert der Monopolist mit Gewinn?

Hier wird doch nach der Gewinnschwelle und Gewinngrenze gefragt, oder ?

Dafür habe ich jetzt eine Gewinnfunktion benutzt, die ich in eine aufgabe davor aufgestellt habe
und die Polynomdivision angewendet.
-x³+6,5x²+27x-72 : (x-2) = -x²+4,5x+36

-x²+4,5+36 / -(*1)
x²-4,5-36

Und durch die PQ Formel habe ich folgendes raus

x2= 8,66
x3=-4,16
und ich meine die 2, die ich als LF für die Polynomdivision benutzt habe ist auch eine Lösung... Aber da bin ich mir nicht sicher und ich weiß nicht, was die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze sein soll oder ob mir noch was fehlt.
Die -4,16 müssten ökonomisch nicht relevant sein.

08.03.2014, 14:40

Kasen75

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Soweit alles richtig.

Jetzt zur Frage bezüglich der Bestimmung des Gewinn- bzw. Verlustbereiches. Du kannst einen x-Wert zwischen zwei Nullstellen einsetzen. Hier bietet sich an, x=0 einzusetzen. Und $\begin{eqnarray*} f(0)=-72 \end{eqnarray*}$ wie man leicht sieht.

D.h. zwischen den beiden Nullstellen x=-4,16 und x=2 ist die Funktion f(x) negativ. Das heißt dann aber auch, dass für x>2 der positive Bereich beginnt. Dieser positive Bereich wiederum endet bei der nächsten Nullstelle, x=8,66

Da x wahrscheinlich ganzzahlig sein soll, muss man hier am oberen Ende des Intervalls noch abrunden.

Wie lautet nun das Intervall ?

08.03.2014, 15:39

valaia

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Ohje, ich muss ehrlich zugeben, dass ich das nicht so ganz verstehe unglücklich

unglücklich

Eigentlich müsste ja die niedrigste Zahl einfach die Gewinnschwelle sein, also in dem Fall hier die 2.
Die Gewinngrenze ist die höchste Zahl dann-> 8,66

Was ich aber mit dieser f(0)= -72 machen soll verstehe ich leider überhaupt nicht...

08.03.2014, 16:08

Kasen75

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Zitat:

Original von valaia
Ohje, ich muss ehrlich zugeben, dass ich das nicht so ganz verstehe unglücklich

unglücklich

Eigentlich müsste ja die niedrigste Zahl einfach die Gewinnschwelle sein, also in dem Fall hier die 2.

Jein. Es kommt auf die Funktion an. Hat man bei einer Funktion die (einfachen) Nullstellen ermittelt, dann wechseln sich Gewinnzone und Verlustzone bei jeder Nullstelle ab.

Jetzt ist bei f(0)=-72 der Funktionswert negativ. Somit befindet man sich in einem negativen Bereich der Funktion. Ist das nicht klar ?

Jetzt geht man auf der x-Achse solange nach rechts, bis man zur nächsten Nullstelle gelangt. Das ist x=2. Ab x=2 befindet man sich dann in der Gewinnzone.
Dann geht man zur nächsten Nullstelle Diese ist dann x=8,66. Das ist dann in der Tat die Gewinngrenze.

_______________________________________________
hypothetischer Fall:

Gewinnfunktion ist: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-6.5x^2-27x+72 \end{eqnarray*}$
Dann ist f(0) positiv und man würde sich schon in der Gewinnzone befinden. Und die Gewinngrenze wäre dann x=2. Die Verlustzone würde dann ab x=8,66 beginnen.

_______________________________________________

Aufpassen muss man bei doppelten, vierfachen,... ,2n-fachen Nullstellen. Hier findet kein Wechsel von Gewinnzone und Verlustzone statt, da die Funktion die x-Achse nur berührt.

So hat die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=(x-5)^2 \cdot (x-3)=x^3-13x^2+55x-75 \end{eqnarray*}$ bei x=5 eine doppelte Nullstelle. Es findet somit bei x=5 kein Vorzeichenwechsel statt. Man bleibt also auch für x>5 in der Gewinnzone.

09.03.2014, 08:43

valaia

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Die einfachen Nullstellen? Also die beiden, die man mit der PQ-Formel ermittelt?

Ich verstehe dieses f(0)=-72 nicht... Woher das kommt und wofür man das braucht.
ich verstehe das jetzt so, wenn die Fixe Kosten postiv sind, dass 0 die Gewinnschwelle ist und die nächste kleinste positive Zahl dann die Gewinngrenze ist.
Sind die Fixe kosten aber negativ, dann beginnt die Gewinnschwelle bei der niedrigsten positiven Zahl und die Gewinngrenze ist die größte positive Zahl.

Ich habe von jemanden die Lösungen geschickt bekommen:
x1= 8,66 ME
x2=-4,16
x3= 2 Gewinnschwelle
x4== 8,66 Gewinngrenze

Ich habe das ganze mal mit einer ähnlichen Aufgabe verglichen.
Da war auch sogesehen ein Ergebniss doppelt, nur dass dahinter ME statt Gewinngrenze steht. Es hat sich dabei auch um die größte Zahl gehandelt.
War das nur ein Zufall, oder kann man das immer so machen?

09.03.2014, 13:28

Kasen75

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Zitat:

Original von valaia
Die einfachen Nullstellen? Also die beiden, die man mit der PQ-Formel ermittelt?

Mit einfachen Nullstellen meinte ich keine zweifachen oder keine sonstigen mehrfachen Nullstellen. So hat z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-2)^2 \end{eqnarray*}$ ein zweifache Nullstelle.

Rechnung:

$\begin{eqnarray*} (x-2)^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-4x+4=0 \end{eqnarray*}$

mit der p-q-Formel ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} x_{1 / 2}=-\frac{-4}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2} \right)^2-4}=2 \pm\sqrt{2^2-4}=2\pm 0 \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} x_{1 / 2}=2 \end{eqnarray*}$ eine zweifache (doppelte) Nullstelle. $\begin{eqnarray*} x_1=2,x_2=2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von valaia
Ich verstehe dieses $\begin{eqnarray*} f(0)=-72 \end{eqnarray*}$ nicht... Woher das kommt und wofür man das braucht.

Du brauchst einen Anhaltspunkt um zu ermitteln wo die Verlustzonen und wo die Gewinnzonen sind. Ist f(0) negativ, dann ist auf jeden Fall von x=0 bis zur nächsten Nullstelle eine Verlustzone. Wenn die nächste Nullstelle eine einfache Nullstelle ist, dann fängt dann die Gewinnzone an.

Zitat:

Original von valaia
ich verstehe das jetzt so, wenn die Fixe Kosten postiv sind, dass 0 die Gewinnschwelle ist und die nächste kleinste positive Zahl dann die Gewinngrenze ist.

Sind die Fixe kosten aber negativ, dann beginnt die Gewinnschwelle bei der niedrigsten positiven Zahl und die Gewinngrenze ist die größte positive Zahl.

Wenn die fixe Kosten positiv sind und die erste Nullstelle eine einfache (oder vielleicht auch dreifachen) Nullstelle ist, dann ist die niedrigste positive Nullstelle die Gewinnschwelle. Die Gewinngrenze ist bei der nächsten einfachen (oder vielleicht auch dreifachen) Nullstelle.
Da die Kostenfunktion in die Gewinnfunktion negativ eingeht, gehen auch positive Fixkosten negativ in die Gewinnfunktion ein.

Zitat:

Original von valaia
Ich habe von jemanden die Lösungen geschickt bekommen:
x1= 8,66 ME
x2=-4,16
x3= 2 Gewinnschwelle
x4== 8,66 Gewinngrenze

Ich habe das ganze mal mit einer ähnlichen Aufgabe verglichen.
Da war auch sogesehen ein Ergebniss doppelt, nur dass dahinter ME statt Gewinngrenze steht. Es hat sich dabei auch um die größte Zahl gehandelt.
War das nur ein Zufall, oder kann man das immer so machen?

Hier hast du keine "doppeltes Ergebnis". Du hast hier DREI (nicht vier) einfache Nullstellen.

$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ =8,66 ME
$\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ =-4,16
$\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ =2 ME

Ich habe jetzt auch "ME" dazugeschrieben. ME ist die Abkürzung für Mengeneinheiten. Da man, wie du schon erwähnt hast, nur die nicht-negativen Werte berücksichtigt, kann man $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ignorieren.

Wie gesagt, wenn man sich bei f(0) in der Verlustzone befindet, dann fängt bei $\begin{eqnarray*} x_3=2 \end{eqnarray*}$ die Gewinnzone an, da x=3 nur eine einfache Nullstelle ist.

Ansonsten poste ich noch mal meinen letzten Beitrag mit Grafiken. Vielleicht hilft das.

Zitat:

Original von Kasen75/i]

Zitat:

[i]Original von valaia
Ohje, ich muss ehrlich zugeben, dass ich das nicht so ganz verstehe

Eigentlich müsste ja die niedrigste Zahl einfach die Gewinnschwelle sein, also in dem Fall hier die 2.

Jein. Es kommt auf die Funktion an. Hat man bei einer Funktion die (einfachen) Nullstellen ermittelt, dann wechseln sich Gewinnzone und Verlustzone bei jeder Nullstelle ab.

Jetzt ist bei f(0)=-72 der Funktionswert negativ. Somit befindet man sich in einem negativen Bereich der Funktion. Ist das nicht klar ?

Jetzt geht man auf der x-Achse solange nach rechts, bis man zur nächsten Nullstelle gelangt. Das ist x=2. Ab x=2 befindet man sich dann in der Gewinnzone.
Dann geht man zur nächsten Nullstelle Diese ist dann x=8,66. Das ist dann in der Tat die Gewinngrenze.

Grafik für deine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=-x^3+6.5x^2+27x-72 \end{eqnarray*}$

_______________________________________________
hypothetischer Fall:

Gewinnfunktion ist: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-6.5x^2-27x+72 \end{eqnarray*}$
Dann ist f(0) positiv und man würde sich schon in der Gewinnzone befinden. Und die Gewinngrenze wäre dann x=2. Die Edit: Die zweite Gewinnzone würde dann ab x=8,66 beginnen.

_______________________________________________

Aufpassen muss man bei doppelten, vierfachen,... ,2n-fachen Nullstellen. Hier findet kein Wechsel von Gewinnzone und Verlustzone statt, da die Funktion die x-Achse nur berührt.

So hat die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=(x-5)^2 \cdot (x-3)=x^3-13x^2+55x-75 \end{eqnarray*}$ bei x=5 eine doppelte Nullstelle. Es findet somit bei x=5 kein Vorzeichenwechsel statt. Man bleibt also auch für x>5 in der Gewinnzone.

09.03.2014, 13:52

valaia

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Danke sehr für die Müher! Ich denke, ich verstehe das jetzt besser. Ich werde die komplette Aufgabe noch einmal von vorne neu rechnen smile

smile

Mich hatten die falschen Ergebnisse, die ich bekommen habe, verwirrt.

Eine Frage hätte ich aber noch ^^

Bei folgender Aufgabe:
Ein Monopolist hat für sein Produkt die Preisabsatzfunktion pn (x)=-6 + 54 ermittelt.
Seine variablen Stückkosten hängen von der Herstellmenge ab und lauten
kv (x)= x²-12x+ 50.
Der Unternehmer muss Fixekosten in Höhe von 24 GE abdecken.

A) Ermittel die Gesamtkostenfuktion

Dafür habe ich die Formel K(x) =kv(x) * x +Kf benutzt und dabei rausgekommen ist:
x³-12x²+50x+24
Ich bin mir hier 100% sicher, dass das richtig ist.

Bei einer komplett anderen Aufgabe bin ich mir sehr unsicher.
Diese lautet:
Die Klag Sportswear GmbH stellt unter anderem Sporthosen her. Sie will die Gewinnentwicklung von diesem Produkt genau untersuchen. Sie kennt ihre fixe Kosten in Höhe von 18 GE. Die variablen Kosten hängen von der hergestellten Menge ab und lauten :
kv (x)=x³-9x²+30x. Im Rahmen ihres Produktionsprogrammes kann die Firma bis zu 9 ME pro Monat herstellen. Da das Unternehmen als Polypolist auf dem Markt agiert, hat sich ein Markpreis für eine Hose von 25 GE/ME ergeben.

Ermittel die Gesamtkostenfunktion

Ich hätte hier wieder das gleiche Verfahren angewendet, wie in der Aufgabe da oben, aber als Lösung habe ich hier
K(x)= x³-9x²+30x+18
stehen.
Es wurden also nur die Fixekosten dazu gerechnet.
Ist das Falsch?
Oder muss man kv (x) nur mal x rechnen, wenn eine x³ fehlt und die erste zahl eine x² ist?

09.03.2014, 14:03

adiutor62

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Hier sind wohl die variablen Gesamtkostenkosten $\begin{eqnarray*} (K_v) \end{eqnarray*}$ gemeint, nicht die variablen Stückkosten ( $\begin{eqnarray*} k_v \end{eqnarray*}$ ).

09.03.2014, 14:17

Kasen75

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@adiutor62

Ich würde dich herzlichst bitten hier weiterzumachen, da ich im Moment beschäftigt bin.
Du bist ja schon im Thema drin. Danke im Voraus. smile

smile

Gruß.

Wink

09.03.2014, 18:32

valaia

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Vielen dank! Ich habe tatsächlich nicht drauf geachtet, ob es sich um ein großes oder kleines K gehandelt hat.

Momentan habe ich keine weitere Fragen mehr. Da ich mich zurzeit aber auf eine kommende Mathe-Klausur am Mittwoch vorbereite, kann es sein, dass ich mich hier wieder vielleicht melde.
Ich möchte mich noch einmal für all die Hilfe bedanken smile

smile

Einen schönen Abend noch ! smile

smile

11.03.2014, 11:34

valaia

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

smile

Ich bin es mal wieder smile

smile

Ich bearbeite gerade folgende Aufgabe

''In Welchem Bereich befinden sich das gewinnmaximum und die gewinnmaximale Menge ?''

Dafür habe ich bei der Gewinnfunktion -x³+9x²-5x-18 folgende Nullstellen berechnet :
x1=2 x2=8,1 x3= -1,1 (nicht relevant)

Zuerst habe ich die Mitte von 8,1 und 2 genommen. Das müssten 5,05 sein. Und diese sind, glaube ich zumindest, die Gewinnmaximale Menge.
Für das Gewinnmaximum habe ich dann die 5,05 in die Gewinnfunktion eingesetzt.
Dafür habe ich 57,48 rausbekommen.

Ich weiß nur leider nicht, was mit dem Bereich gemeint ist....Die Gewinnzone? Ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob das bisher alles richtig ist und mir erklären könnte, was mit dem Bereich gemeint ist!

11.03.2014, 11:51

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gewinnzone liegt zwischen x1 und x2. Um das Gewinnmaximum zu ermitteln, musst du
die Gewinnfunktion ableiten und NULL setzen.

11.03.2014, 12:01

valaia

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Die Gewinnzone müsste dann [2;8,1] sein.

Aber die Gewinnfunktion hatte ich schon Null gesetzt, dann habe ich mit Hilfe der Polynomdivision die Nullstellen errechnet...

11.03.2014, 12:06

adiutor62

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Das war alles korrekt.
Jetzt noch - wie gesagt- ableiten, um das Maximum zu ermitteln und den gefundenene Wert in die Ausgangsfunktion G(x) einsetzen.

11.03.2014, 12:11

valaia

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir nicht sicher, was du mit ableiten meinst.

Ich hatte die mitte von 2 und 8,1 -> 5,05 in G(x) eingesetzt. Dafür habe ich 57,48 rausbekommen. Muss ich da noch etwas machen ?

11.03.2014, 12:20

adiutor62

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Ich meine G´(x) bilden.

11.03.2014, 12:32

valaia

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Ich schreibe dir mal komplett auf, was ich gemacht habe. Ich glaube, wir missverstehen uns

G(x)= E(x)-K(x)
E(x)=25x
K(X)
x³-9x²+30x+18

=25x-(x³-9x²+30x+18x)
=-x³+9x²-5x-18

=-x³+9x²-5x-18 mal minus eins
=x³-9x²+5x+18

Polymomdivision
LF ist (x-2)
dann kommt x²-7x-9 raus

Nullstellen berechnen mit pq Formel

x2=8,1
x3=-1,1
Und die 2 ist auch eine Nullstelle

Gewinnzonne ist [2;8,1]
Die mitte von 2 und 8,1 ist 5,05
5,05 Ist die Gewinnmaximale Menge

die habe ich in die Gewinnfunktion eingesetzt

G( 5,05)= -5,05³+9 * 5,05²-5*5,05-18
=57, 48

Ich hoffe, es ist nun deutlicher smile

smile

Oder ist das so alles komplett richtig ?

11.03.2014, 12:39

adiutor62

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Das Gewinnmaximum kannst du so nicht bestimmen, wie du es gemacht hast.
Du brauchst die 1. Ableitung der Gewinnfunktion. Mit der Mitte von 2 und 8,1 kommst du hier nicht zum richtigen Ergebnis, weil G(x) keine quadratische Funktion ist.

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