Blödes Integral

03.03.2007, 12:47	Seb17	Auf diesen Beitrag antworten »
Blödes Integral Hi zusammen Hat jemand 'ne Idee für folgendes (unbestimmtes) Integral? Ich tippe auf Substitution, aber komme leider nicht auf die Richtige ... $\begin{eqnarray} \int~\sin^2(x)\cdot\cos^2(x)~dx. \end{eqnarray}$ Thx im Voraus, Seb17
03.03.2007, 12:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a^2 b^2 = (ab)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin{(2x)} = 2 \sin{x} \cos{x} \end{eqnarray}$
03.03.2007, 13:24	Seb17	Auf diesen Beitrag antworten »
Na super Die Additionstheoreme stecken also dahinter. Danke!
03.03.2007, 13:42	Seb17	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mbox{Also erhalte ich doch: }\int~\sin^2(x)\cdot\cos^2(x)~dx=\int~(\sin(x)\cdot\cos(x))^2~dx=\int~{\left(\frac{1}{2}\cdot\sin(2x)\right)}^{2}~dx\\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{4}\cdot\int~\sin^2(2x)~dx=\frac{1}{4}\cdot\int~{(\sin(u))}^2~\frac{du}{2}=\frac{1}{8}\cdot\int~({\sin(u)})^2~du. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox{Und wie würde ich jetzt weitermachen?} \end{eqnarray}$ MfG Seb17
03.03.2007, 13:52	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
2-mal partiell und dabei einmal sin² = 1 - cos² benutzen. Dann haste ne Gleichung, die du nach deinem gesuchten Integral umstellen kannst.
03.03.2007, 14:16	Seb17	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann müsste ich für das Integral $\begin{eqnarray} \frac{1}{8}\cdot\int~(sin(u))^2~du=\frac{x}{8}-\frac{\sin(2x)\cdot\cos(2x)}{16} \end{eqnarray}$ erhalten, wenn entsprechend resubstituiert wird. Derive gibt mir aber für das gesamte Integral eine andere Lösung an ... Wo ist der Fehler? MfG Seb17
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03.03.2007, 14:21	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Was für eine Lösung wird den angegeben? Ich habe deine rausbekommen, jedoch wurde ein Additionstheorem nochmal angewendet.
03.03.2007, 14:57	Seb17	Auf diesen Beitrag antworten »
Derive sagt $\begin{eqnarray} \int~\sin^2(x)\cdot\cos^2(x)~dx=\frac{x}{8}+\frac{\sin(x)\cdot\cos(x)}{8}-\frac{\sin(x)\cdot\cos^3(x)}{4} \end{eqnarray}$ Wenn ich die Lösung oben von dieser Lösung abziehe (per Derive), kommt aber nicht 0 heraus?!?
03.03.2007, 15:06	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
du kannst doch auch an der Stelle wo nur noch $\begin{eqnarray} sin^2(u) \end{eqnarray}$ im integral steht, einfach folgendes verwenden: $\begin{eqnarray} sin^2(u)=\frac{1}{2}(1-cos(2u)) \end{eqnarray}$ Dann wird es noch einfacher.

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