Kongruenzbeweis

08.03.2014, 19:04

AllesDa

Kongruenzbeweis

Hey, ich habe hier zwei Fragen:

Sei x nicht durch 3 teilbar

Zeige
$\begin{eqnarray*} x^6\equiv 1 mod9 \end{eqnarray*}$

-> 9|x^6-1
Da (x^6-1)*n =9 -> a^6 =9/n
Da es aber außer 3 keine Zahl gibt, sodass 9/n eine ganze Zahl wird, ist diese Ausage falsch.

$\begin{eqnarray*} a\equiv b mod6 -> c ^a\equiv c^b mod9 \end{eqnarray*}$
6|b-c -> 9|c^a-c^b

Ich weiß, dass ich wohl einfach nur die beiden gegebenen Dinge umschreiben muss, aber nicht wie.

mfg

08.03.2014, 21:51

micha_L

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RE: Kongruenzbeweis
Hallo,

verwende doch $\begin{eqnarray*} x^6-1=(x^3-1)(x^3+1) \end{eqnarray*}$ und die Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} x\equiv1\mathrm{mod}3\vee x\equiv -1\mathrm{mod}3 \end{eqnarray*}$ .

Mfg Michael

08.03.2014, 21:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von AllesDa
Da (x^6-1)*n =9

Falsch argumentiert: Tatsächlich heißt $\begin{eqnarray*} 9 \mid (x^6-1) \end{eqnarray*}$ , dass es ein ganzes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^6-1 = 9n \end{eqnarray*}$ gibt!

Zur Lösung an sich hat micha_L ja das nötige gesagt.

08.03.2014, 22:33

AllesDa

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Hmm
Die Zerlegung ist mir klar.
Aber wieso x kongruent 1 mod 3 ? Wie wird das hergeleitet? Gibt´s da eine Regel?

und ich sehe nicht warum
dass es ein ganzes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^6-1 = 9n \end{eqnarray*}$ gibt!

....Oh, ich habe die ganze Zeit falsch rum gerechnet.

$\begin{eqnarray*} x^6-1=(x^3-1)(x^3+1) =9n \end{eqnarray*}$
Wenn x=1
0=9n

Wenn x=-1
0=9n
->n=0

->x^6 =1, x =1 oder x=-1

-> 1 kongruent 1 mod 9
?

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