Gültigkeit Taylor Abschschätzung zeigen

08.03.2014, 19:18

Arnulf123

Gültigkeit Taylor Abschschätzung zeigen

Hallo ich bräuchte mal einen Tipp zu einer Abschätzung.

$\begin{eqnarray*} f(x)=xe^x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie das Taylorpolynom $\begin{eqnarray*} T_3 (x,0) \end{eqnarray*}$ vom Grad 3 um den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ zur Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Meine Lösung dazu: $\begin{eqnarray*} T_3(x,0)=x+\frac{2}{2!} \cdot x^2 + \frac{3}{3!} \cdot x^3 \end{eqnarray*}$

Nun soll man Zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ die Abschätzung $\begin{eqnarray*} | f(x)-T_3(x,0) | \leq \frac{5e}{24} \end{eqnarray*}$ gilt.

Mein Ansatz dazu wäre gewesen einfach x = 1 setzen, dann käme ich auf $\begin{eqnarray*} | e-2,5| \leq \frac{5e}{24} \end{eqnarray*}$ jedoch könnte ich dies ohne Taschenrechner nicht genau bestätigen, ich muss eine Lösung ohne Taschenrechner finden!

08.03.2014, 19:28

magic_hero

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Zitat:

Original von Arnulf123
Meine Lösung dazu: $\begin{eqnarray*} T_3(x,0)=x+\frac{2}{2!} \cdot x^2 + \frac{3}{3!} \cdot x^3 \end{eqnarray*}$

Ist korrekt.

Zitat:

Original von Arnulf123
Mein Ansatz dazu wäre gewesen einfach x = 1 setzen (...)

Du sollst das aber für alle $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ zeigen, also kannst du nicht ein spezielles einsetzen.
Verwende hier den Satz von Taylor, du erhältst dann ein Restglied, das du entsprechend abschätzen kannst.

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