Betragsgleichung mit Sinus

08.03.2014, 20:44

Bennard

Betragsgleichung mit Sinus

Guten Abend miteinander.

Ich habe eine Betragsgleichung zum Lösen bekommen und musste jetzt feststellen dass ich nicht weiß ob mein Ergebnis ansatzweise richtig ist.

$\begin{eqnarray*} | \sin(x) + 3sin²(x) | = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Da Betragsgleichung, erstmal unterschieden:

$\begin{eqnarray*} | \sin(x) + 3sin²(x) | \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left\{ \sin(x) + 3sin²(x) \geq 0\right\} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \left\{ -(\sin(x) + 3sin²(x)) < 0\right\} \end{eqnarray*}$

Hatte dann raus:
$\begin{eqnarray*} \sin(x) + 3\sin²(x) \geq 0 <=> \sin(x) \geq - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ (1.Fall)
und
$\begin{eqnarray*} \sin(x) + 3\sin²(x) < 0 <=> \sin(x) < - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ (2.Fall)

Beim Ersten L= 1 /8 und eine leere Lösungsmenge beim Zweiten.

Meine Frage nun: stimmt das überhaupt und habe ich die Fälle korrekt aufgestellt?

Danke

08.03.2014, 21:31

Dopap

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zur Anschauung:

08.03.2014, 21:38

Bennard

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Danke schonmal für die schnelle Rückmeldung.

Habe jedoch glatt einen ganz wichtigen Zusatz vergessen:

"Geben Sie alle Winkel zwischen 0° und 360° an, die folgende Gleichung erfüllen: ..."

Da es eine Sinusfunktion ist müssten wir uns ja im Intervall 0 bis 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bewegen, richtig?

08.03.2014, 21:53

Dopap

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Zitat:

Original von Bennard

"Geben Sie alle Winkel zwischen 0° und 360° an, die folgende Gleichung erfüllen: ..."

Da es eine Sinusfunktion ist müssten wir uns ja im Intervall 0 bis 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bewegen, richtig?

ja, aber mit dem Sinus hat das nix zu tun - ausserdem ist das keine Sinus- Funktion.

schauen wir uns mal die betragsfreie Funktion an

hier ist ersichtlich, dass der Betrag weggelassen werden kann, da er für die Lösungen unerheblich ist.

08.03.2014, 22:28

Bennard

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Also brauche ich schonmal keine Fallunterscheidung tätigen.
Danke Dopap.

Jedoch stehe ich nun leider nicht schlauer da.
Ich muss die Schnittpunkte der Funktion mit der Geraden bestimmen und nach dem plotter sind es vier Werte, soweit ist es mir offensichtlich. Doch wie gehe ich das an?

Tut mir leid, stehe echt auf dem Schlau :/

08.03.2014, 22:50

Dopap

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es kommt wie immer auf die Hilfsmittel an.

Numerisch lassen sich sicher die Nullstellen von

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x)+3\sin(x)^2-\tfrac 12 \quad \land x \in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Ansonsten fällt mir nur noch der Ansatz mit z=sin(x) ein:

$\begin{eqnarray*} 6z^2+2z-1=0 \end{eqnarray*}$ aber das war es dann auch. verwirrt

08.03.2014, 23:16

Bennard

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Vielen Dank so weit Freude

Ich versuche einfach nochmal weiter

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