Integrationsformel anwenden

08.03.2014, 22:39

Jade93

Integrationsformel anwenden

Halllo, ihr Lieben smile

Ich bräcuhte schnell eine Antwort. Diese Formel hier:

$\begin{eqnarray*} x^{n} dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} \end{eqnarray*}$

Die kann ich ja benutzen wenn ich Funktionen wie $\begin{eqnarray*} 5/(2+3x)^2 \end{eqnarray*}$ habe, stimmts?
Geht es auch wenn jetzt eine ganze Zahl ohne x im Nenner vorhanden ist?

Also: $\begin{eqnarray*} 3/(5+4x^2) \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} 3/(5x+4x^2) \end{eqnarray*}$ ?

Wie würde man hier am besten vorgehen? Nur mit Subtsitution oder eventuelll beim 2. eine Partialbruchzerlegung?

08.03.2014, 23:04

mYthos

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Die Formel stimmt so nicht. Da gehört links noch ein Integralzeichen hin.
Und was da unten steht, ist Mumpitz .... (oder du solltest Klammern setzen)

mY+

EDIT: Ahh, du hast es bereits verbessert.

08.03.2014, 23:07

Jade93

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yo, hab vergessen EDIT zu schreiben, sorry Big Laugh

08.03.2014, 23:11

Dopap

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die korrigierte Formel (--> mYthos) gilt für $\begin{eqnarray*} n\neq -1 \end{eqnarray*}$

aber auch dann, wenn x selbst ein lineares Argument ist. Dann muss aber die Kettenregel in der Formel berücksichtigt werden.

08.03.2014, 23:12

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \frac 5 {(2 + 3x)^2} = 5 \cdot (2 + 3x)^{-2} \end{eqnarray*}$ mittels Substitution, ja,

das nächste führt auf einen $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ und zuletzt mittels Partialbruchzerlegung, ja.

mY+

08.03.2014, 23:34

Jade93

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$\begin{eqnarray*} \frac{5}{(2+3x)^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 5\int \frac{1}{-2+1}*\frac{1}{3}*(2+3x)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = -\frac{5}{6+9x} \end{eqnarray*}$

Ist also richtig. soweit ichs bestätigen kann.

Also nochmal: $\begin{eqnarray*} 3/(5+4x^2) \end{eqnarray*}$ => Substitution?
$\begin{eqnarray*} 3/(5x+4x^2) \end{eqnarray*}$ => Partialbruchzerlegung?

Ich muss mich wirklich hineinarbeiten in die Materie. Big Laugh

08.03.2014, 23:49

mYthos

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1. Stimmt
2. Auf den arctan hinarbeiten

$\begin{eqnarray*} \to 3 \int \frac 1 {5 + 4x^2} \ \dd x \end{eqnarray*}$

dann verwenden

$\begin{eqnarray*} \int \frac 1 {a + bx^2} \ \dd x = \frac {\arctan(x \sqrt{\frac b a})}{\sqrt{ab}} \end{eqnarray*}$

3. Partialbruchzerlegung mit den beiden Linearfaktoren x und (5 + 4x)

mY+

09.03.2014, 00:37

Jade93

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ich versteh das mit dem "Auf den arctan hinarbeiten nicht". Wieso will ich denn arctan, also 1/(1+x²) erhalten wenn ich nur das Integral berechnen will? Geht es nicht mit einem anderen Wert?

09.03.2014, 10:58

klarsoweit

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Die Methode "wasch mir den Pelz, aber mach mich nicht naß" geht bei $\begin{eqnarray*} 3 \int \frac 1 {5 + 4x^2} \ \dd x \end{eqnarray*}$ nicht. Du brauchst hier die Substitution $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{\frac 5 4} u \end{eqnarray*}$ . smile

09.03.2014, 12:35

Jade93

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ich versteh das imme rnoch nicht... kannst Du das bitte vorrechnen?

09.03.2014, 12:49

Haramune

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sorry dass ich hier reinplatze.. aber ich hab hier ähnliches Kopzerbrechen wie Jade93.. und zwar habe ich hier: $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3(x+2)^2} \end{eqnarray*}$

Und berechnet: $\begin{eqnarray*} \int \frac{5}{3}*\frac{1}{-2+1}(x+2)^{-2+1} = -\frac{5}{3(x+2)}+C \end{eqnarray*}$

Ist das gut so?

09.03.2014, 13:03

mYthos

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@Haramune
Ja.

@Jade93
Vorgerechnet wird hier nichts, sorry, wir machen das zusammen.
Du hast bereits zwei Vorschläge erhalten, die Grundformel bzw. die Substitution.

Die Substitution muss so erfolgen, dass letztendlich der Integrand in der Form $\begin{eqnarray*} \frac 1 {1 + u^2} \end{eqnarray*}$ da steht, dieses Grundintegral liefert $\begin{eqnarray*} \arctan u \end{eqnarray*}$
Wie man auf die Substitution kommt: Mittels $\begin{eqnarray*} 4x^2 = 5u^2 \end{eqnarray*}$ wird erreicht, dass $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ aus dem Nenner ausgeklammert werden kann und dort $\begin{eqnarray*} 1 + u^2 \end{eqnarray*}$ stehen bleibt.
Oder man wird einfach $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} 4x^2 \end{eqnarray*}$ "mit Gewalt" ausklammern, der rechte Summand ist dann $\begin{eqnarray*} u^2 \end{eqnarray*}$

Wo hängt es bei dir?

09.03.2014, 14:05

Jade93

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Substitution, ausklammern, irgednwas bestimmtes soll da ereciht werden.. ich versteh nur Bahnhof! Ich dreh noch durch, weil ich es nicht verstehen kann! Ich komm nicht vorn sondern trete auf einer Stelle und das ist echt frustrierend! traurig

Ich seh nicht ein wie $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{\frac 5 4} u \end{eqnarray*}$ rauskommen kann wenn 5 und 4 im Nenner sind. Und acuh nicht wie 5, eine normale Zahl u² ist. Ich habe die Substitution gelernt. Aber diese Umformung verstehe ich nicht

09.03.2014, 16:25

mYthos

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Du kannst dich durchaus wieder beruhigen, ich habe mich doch nur bemüht, dir zu erklären, wie man auf diese Substitution kommt und dass das Integral auf eine arctan-Funktion führen wird.
Offensichtlich kommt das bei dir gar nicht gut an, nun, vergiss das Ganze wieder.

Aber wenn du die Substitution "gelernt" hast, dann müsstest du diese ja beherrschen, also führe sie 'straight forward' durch!
Setze - wie auch schon gesagt:

$\begin{eqnarray*} x = u \sqrt {\frac 5 4} \end{eqnarray*}$

Wie geht das jetzt weiter?

09.03.2014, 16:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von Jade93
Ich habe die Substitution gelernt. Aber diese Umformung verstehe ich nicht

Manchmal muß man einfach mal einen Tipp befolgen. Durch den anschließenden Aha-Effekt wirst du verstehen, warum die Substitution so gewählt wird. smile

EDIT: und damit bin ich auch wieder raus hier.

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