Ableitung Exponentialfunktion

09.03.2014, 11:34	longa123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung Exponentialfunktion Meine Frage: Das ist keine Aufgabe, aber wie formt man zum Biespiel eine Funktion ab bei der eine Zahl, die nicht e ist unter der Potenz x steht, ab? wie zum Beispiel: f(x)=5^x Und wie formt man zum Beispiel 10=5^x nach x um? Meine Ideen: Die erste Frage hat bestimmt was mit e zu tun. Ich weiß, dass wenn f(x)=e^x ist, dass dann auch f'(x)=e^x ist. Und, wenn 10=5^x ist, dachte ich macht man das irgendwie mit ln()? Aber ich weiß nicht genau wie... Danke euch!
09.03.2014, 11:39	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Fangen wir mal mit der Ableitung an. Da hast du schon richtig auf die e-Funktion hingewiesen. Kannst du f(x) = 5^x als e-Funktion schreiben (bedenke, dass der Logarithmus die Umkehrfunktion der e-Funktion ist)
09.03.2014, 11:41	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Vermutungen sind soweit gar nicht schlecht. Kannst du $\begin{eqnarray} f(x)=5^x \end{eqnarray}$ so umschreiben, dass du wieder etwas erhältst, wo e die Basis ist? $\begin{eqnarray} f(x)=e^{...} \end{eqnarray}$ Wie würdest du denn $\begin{eqnarray} 10=5^x \end{eqnarray}$ auflösen? Hättest du da einen Rechenvorschlag zu bieten? Edit: Bin weg.
09.03.2014, 11:52	longa123	Auf diesen Beitrag antworten »
kann es sein, dass 5^x=e^(ln(5)*x) ist? und 10=5^x würde ich mit dem Logarithmus auflösen, also mit log mit der Basis 5 (10) oder so... aber ich habe auch in Erinnerung, dass man das mit dem natürlichen Logarithmus ln() machen kann.
09.03.2014, 12:02	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das ist richtig. $\begin{eqnarray} f(x) = 5^x = e^{x\ln(5)} \end{eqnarray}$ Dann bestimme davon mal die Ableitung . --------------- Ebenfalls richtig ist das Lösen der Gleichung über den Logarithmus mit der Basis 5. Das ist aber eher unüblich, da sich dieser zumeist nicht auf dem Taschenrechner findet^^. Ganz richtig in Erinnerung hast du, dass man den ln nimmt. Es ist egal, welche Basis man verwendet, solange man auf beiden Seiten dieselbe verwendet. Manchmal mag es günstiger sein eine andere Basis zu wählen (bspw. bei 25 = 5^x wäre die Basis 5 eine gute Wahl, aber ln geht nichts destotrotz).
09.03.2014, 12:08	longa123	Auf diesen Beitrag antworten »
ja gut, die Ableitung ist dann ln(5)e^(ln(5)x), oder? Das mit dem natürlichem Logarithmus habe ich noch nicht ganz verstanden... Wie kann ich ihn jetzt anwenden? Ich muss leider gleich weg... aber wenn du schnell antwortest, kann ich das bestimmt noch sehen.
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09.03.2014, 12:12	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Die Ableitung ist richtig. Tu es aber noch zurückformen: $\begin{eqnarray} f'(x) = \ln(5)e^{x\ln(5)} = \ln(5)5^x \end{eqnarray*}$ ----------------- Direkt anwenden. Mehr ist nicht zu tun: 10 = 5^x \|ln ln(10) = ln(5^x) ... Bin selbst essen,
09.03.2014, 12:18	longa123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Aber was kann man mit ln(5^x) mehr anfangen als mit 5^x? Weil das x steht da ja immer noch so komisch untrennbar.
09.03.2014, 12:36	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hattest doch ln(5)e^(ln(5)x) geschrieben. Wie hast du das x als Faktor geschrieben? Mache selbiges hier.

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