Extremwertaufgabe Produktionskosten

09.03.2014, 13:39	rundumleuchte1247234	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Produktionskosten Meine Frage: Hallo Freunde der Mathematik, ich habe folgende Aufgabe, die ich berechnen muss: Ein Betrieb stellt Batterien für Digitalkameras her, die zum Stückpreis von 30? verkauft werden. Die Kosten für die Produktion von x Batterien betragen pro Monat: $\begin{eqnarray} K\left(X\right) = \frac{1}{420000} x^{3} - \frac{1}{160} x^{2} +22x +5000 \end{eqnarray}$ mit X größer gleich 0. Berechnen Sie, für welche Produktionsmenge der monatliche Gewinn maximal wird. Wie groß ist der maximale Gewinn? Hinweis: Gehen Sie bei Ihren Berechnungen davon aus, dass alle hergestellten Batterien auch verkauft werden. Meine Ideen: Ich habe mir folgendes überlegt: Der Gewinn ist ja die Einnahme (30?) minus den Produktionskosten (entspricht K). Dieser Wert muss Maximal werden. Das führte mich zur folgenden Gleichung Gewinn = $\begin{eqnarray} = 30x -\left(\frac{1}{420000} x^{3} - \frac{1}{160} x^{2} +22x +5000\right) \end{eqnarray}$ . Diese Funktion habe ich abgeleitet und kam zu folgender Gleichung: Gewinn = $\begin{eqnarray} \frac{1}{420000} x^{3} + \frac{1}{160} x^{2} +8x - 5000 \end{eqnarray}$ Davon habe ich die erste Ableitung gebildet, um das Maximum herauszubekommen. Die erste Abbildung lautet: Gewinn' = $\begin{eqnarray} \frac{1}{140000} x^{2} + \frac{1}{80} x +8 \end{eqnarray}$ Von dieser Gleichung habe ich versuchte, die Nullstellen zu ermitteln, um (wie schon erwähnt), dass Maximum zu erhalten. Wie ihr sicherlich schon erkannt habt, hat diese Gleichung keine Nullstellen. An dieser Stelle kam ich leider nicht weiter. Ich habe anschließend probiert von der Gleichung: $\begin{eqnarray} K\left(X\right) = \frac{1}{420000} x^{3} - \frac{1}{160} x^{2} +22x +5000 \end{eqnarray}$ Das Minimum zu ermitteln, da dadurch ja der Gewinn ebenfalls maximal wäre. Leider bin ich auch an dieser Stelle an der Nullstellenermittlung der ersten Ableitung gescheitert. Ich muss also irgendetwas übersehen. Könnt ihr mir helfen? Vielen Dank!
09.03.2014, 13:57	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Produktionskosten Du hast ein MINUS-Zeichen vergessen.Es muss lauten: $\begin{eqnarray} (-1/140000)x^2.... \end{eqnarray*}$

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