Substitutionsaufgabe, die man nicht einfach mit Substitution lösen kann

09.03.2014, 14:22

JonDoe

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Substitutionsaufgabe, die man nicht einfach mit Substitution lösen kann

Halli Hallo Wink

Wink

Ich war krank und habe nun keine Ahnung wie ich mit folgender Funktion umgehen kann:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4+x^2} \end{eqnarray*}$
Ich habe versucht mit der Substitution zu rechnen, so ganz nach dem Schema $\begin{eqnarray*} u=4+x^2 => du/dx =>du/2x = dx \end{eqnarray*}$ ihr kennt das Spiel Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nur leider komm ich nicht so mit dieser Funktion klar... kann mir jemand bitte erklären wie das geht? Falls es hier um einen mathematischen Trick sich handelt, dann versucht bitte nicht erst mich an der Hand zu führen, denn ich peil es nicht egal wie sehr ihr versucht mich in die richtige Richtung zu pushen. Ich habe da recht wenig geduld wenns zu kompliziert wird Big Laugh

Big Laugh

09.03.2014, 14:31

grosserloewe

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RE: Substitutionsaufgabe, die man nicht einfach mit Substitutuion lösen lässt?
Wink

Wink

Dieses Integral hat die Struktur eines bekannten Grundintegrales( arctan (x))

Deshalb mußt Du das auf diese Struktur bringen .

Klammere deswegen im Nenner 4 aus und substituiere z = X/2

09.03.2014, 14:32

adiutor62

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RE: Substitutionsaufgabe, die man nicht einfach mit Substitutuion lösen lässt?
Wiel lautet die genaue Aufgabenstellung ?

EDIT: kleiner adiutor übergibt an großerlöwe. smile

smile

09.03.2014, 14:54

JonDoe

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RE: Substitutionsaufgabe, die man nicht einfach mit Substitutuion lösen lässt?
hmm... weiß nicht so recht wie man Bruch ausklammern kann um dann den Substituenten rauszubekommen. Das heißt ich kann $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ rausbekommen? Ich bin echt ratlos, was für Regeln sind das denn? verwirrt

verwirrt

09.03.2014, 15:03

grosserloewe

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RE: Substitutionsaufgabe, die man nicht einfach mit Substitutuion lösen lässt?
Wink

Wink

Du kommst auf :

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{ 4(1 +\frac{x^2}{4}) } \, dx \end{eqnarray*}$
Setzte jetzt die Konstante vor das Integral und führe meinen Tipp aus.

smile

smile

09.03.2014, 15:11

JonDoe

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Und sowas ist legal? geschockt

geschockt

haha, nun gut, Shritt für Schritt..
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \int \frac{1}{1+\frac{x^2}{4} } \end{eqnarray*}$
so? Dann kürzt sich aber die 1 weg und erhalte $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{4} \end{eqnarray*}$

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09.03.2014, 15:25

grosserloewe

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Wink

Es gilt :

$\begin{eqnarray*} z= \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx= 2 dz \end{eqnarray*}$

eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 +z^2} \, dz \end{eqnarray*}$

und nun schauh in Deine Unterlagen /Tafelwerk

was ergibt das nun?

smile

smile

09.03.2014, 15:29

JonDoe

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$\begin{eqnarray*} 1/2 * arcustangens(u) \end{eqnarray*}$
Geht mir aber etwas zu schnell, ehrlich gesagt Augenzwinkern

Augenzwinkern

also war das was ich oben gemacht habe richtig, mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{4} \end{eqnarray*}$ ?

09.03.2014, 15:45

grosserloewe

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Wink

Ja , das war richtig.

Nun mußt Du noch resubstituieren und das +C nicht vergessen.

Was kommt raus?

09.03.2014, 15:53

JonDoe

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was raus kommt ist jetzt erstmal nicht so wichtig. $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{4} \end{eqnarray*}$ stimmt also? Wenn ja wie komme ich dann auf x/2? Weil ich habe ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \int \frac{x^2}{4} \end{eqnarray*}$
falsch gerechnet? Und wenn ich das ausmultipliziere erhalte ich $\begin{eqnarray*} x^2/16 \end{eqnarray*}$ und wenn ich die Wurzel ziehe x/4 geschockt

geschockt

Zitat:

Original von grosserloewe
Wink

Wink

Du kommst auf :

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{ 4(1 +\frac{x^2}{4}) } \, dx \end{eqnarray*}$
Setzte jetzt die Konstante vor das Integral und führe meinen Tipp aus.

smile

smile

Ab hier hab ich weiter versucht..

09.03.2014, 15:59

grosserloewe

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Wink

Wenn ja wie komme ich dann auf x/2?

Das war die Ausgangssubstitution.

Siehe Beitrag um 15:25

Das mut Du dann schrittweise machen.

09.03.2014, 16:04

JonDoe

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ist damit etwa gemeint: $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = x/2 \end{eqnarray*}$ ? Och menno! Können Sie nicht bitte einmal schriftlich verdeutlichen wie das gemeint ist? Ich habe einen toten Punkt erreicht und drehmich nur im Kreis. Tanzen

Tanzen

09.03.2014, 16:21

grosserloewe

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Wink

Ich hab Dir mal was gesendet.

09.03.2014, 17:44

JonDoe

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RE: Substitutionsaufgabe, die man nicht einfach mit Substitution lösen kann
ähmm,Ich glau, ich hatte die ganze Zeit ein brett vorm Kopf.. ne Frage. Ist das so:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{x^2}{4} }<br /> = \frac{x}{z} \end{eqnarray*}$ ?

09.03.2014, 17:48

grosserloewe

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RE: Substitutionsaufgabe, die man nicht einfach mit Substitution lösen kann
Wink

Wink

Wie kommst Du denn auf

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{x^2}{4} } \end{eqnarray*}$

??

09.03.2014, 17:51

JonDoe

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \int \frac{1}{1+\frac{x^2}{4} } \end{eqnarray*}$
Ich habe ja das $\begin{eqnarray*} x^2/4 \end{eqnarray*}$
Ist die Rechenopperation richtig? Ich kann mir sonst nicht herleiten woher die $\begin{eqnarray*} x/2 \end{eqnarray*}$ kommen unglücklich

unglücklich

09.03.2014, 17:56

grosserloewe

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Wink

also schrittweise:

Und jetzt substituierst Du

$\begin{eqnarray*} z= \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

Was erhälst Du ?

09.03.2014, 18:06

JonDoe

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} arctan(\frac{x}{2}) + C \end{eqnarray*}$

09.03.2014, 18:12

grosserloewe

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Wink

Ja das stimmt.

Ich würde Dir empfehlen noch mehrerer solcher Aufgaben zu rechnen.
Denn ganz so einfach ist das nicht , wenn man das noch nie hatte.

09.03.2014, 18:17

JonDoe

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hatte ich auch nicht. Also noch einmal: $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{x}{4^2} } entspricht \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ ?
Kam so es zu der x/2? ODer ist das so eine komplizierte mathematische herleitung wie mit den acrustangens, die man in Tabellen findet? geschockt

geschockt

09.03.2014, 18:39

grosserloewe

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Wink

Wenn Du das meinst , dann ja das ist so:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{x^2}{4} } = \frac{x}{2} = z \end{eqnarray*}$

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