Fourierkoeffizienten berechnen

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09.03.2014, 14:51	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourierkoeffizienten berechnen Hi, brauche hilfe bei dieser Aufgabe: Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten der folgenden auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [-\pi,\pi \end{eqnarray}$ ) definierten und mit $\begin{eqnarray} f(x+2k\pi)=f(x),k\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ ,periodisch fortgesetzten Funktion: $\begin{eqnarray} f(x)=\|sinx\| \end{eqnarray}$ Frage1: Handelt es sich um eine gerade oder ungerade Funktion ? Ich würde sagen es handelt sich um eine gerade Funktion da symetrisch zur y-Achse. Frage2: Wie integriert man Beträge ? Rechnung: $\begin{eqnarray} b_n=0 \end{eqnarray}$ (Da gerade Funktion ) $\begin{eqnarray} a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \! \|sinx\| \, dx \end{eqnarray}$
09.03.2014, 14:57	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage1 ist korrekt beantwortet Frage2 -> Integriere von 0 bis $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ . Dann ergibt sich das Problem des Betrags nicht. Das darfst du machen, da Achsensymmetrie .
09.03.2014, 15:16	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
So? $\begin{eqnarray} a_0=[-cosx]_0^\pi=(1)-(1)=0 \end{eqnarray}$
09.03.2014, 15:22	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_0=\frac{1}{\pi}[-cosx]_0^\pi=\frac{1}{\pi}((1)-(1))=0 \end{eqnarray}$
09.03.2014, 15:28	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss der Vorfaktor 2 noch vorangesetzt werden. Dass Du die Achsensymmetrie ausnutzt erlaubt Dir zwar von 0 bis \pi zu rechnen. Du möchtest ja aber trotzdem die volle Information. Also *2. Und nein. Was ist -cos(0) .
09.03.2014, 16:12	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_0=\frac{2}{\pi}[-cosx]_0^\pi=\frac{2}{\pi}((1)-(-1))=\frac{2}{\pi}2=\frac{4}{\pi} \end{eqnarray*}$
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09.03.2014, 16:13	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau .
09.03.2014, 16:24	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man das für die Bestimmung von $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ auch so machen ? $\begin{eqnarray} a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \! \|sinx\|cos(nx) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} \! sinxcos(nx) \, dx \end{eqnarray}$
09.03.2014, 16:26	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. So würde ich die Sache ebenfalls angehen .
09.03.2014, 17:51	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_n=\frac{2}{\pi}\left[ \frac{-cos((n+1)x)}{2(n+1)}-\frac{cos((1-n)x)}{2(1-n)} \right]_0^\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_n=\frac{2}{\pi}(\left[ \frac{-cos((n+1)\pi)}{2(n+1)}-\frac{cos((1-n)\pi)}{2(1-n)} \right]-\left[ \frac{-1}{2(n+1)}-\frac{1}{2(1-n)} \right] ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n\neq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=2\Rightarrow =\frac{2}{\pi}(-\frac{2}{3} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=3\Rightarrow =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=4\Rightarrow =\frac{2}{\pi}(-\frac{33}{250}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=5\Rightarrow =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=6\Rightarrow =\frac{2}{\pi}(-\frac{14}{125} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=7\Rightarrow =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=8\Rightarrow =\frac{2}{\pi}(-\frac{3}{100} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Für ungerade n mit der Bedingung $\begin{eqnarray} n\neq 1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} a_n=0 \end{eqnarray}$ Hier habe ich noch nichts gefunden $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Für gerade n mit : $\begin{eqnarray} a_n=? \end{eqnarray}$
09.03.2014, 17:53	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} n=6\Rightarrow =\frac{2}{\pi}(-\frac{7}{125} ) \end{eqnarray*}$
09.03.2014, 18:24	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest das in der zweiten Zeile erstmal zusammenfassen. Beachte: $\begin{eqnarray} \cos(\pi n) = (-1)^n \end{eqnarray}$ Die Brüche kannst du mit der dritten binomischen Formel auf einen Bruchstrich schreiben .
09.03.2014, 19:07	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_n= \frac{-4(-1)^{n+1}}{-4n^2+4} \end{eqnarray*}$
09.03.2014, 19:31	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Du scheinst mir den Vorfaktor $\begin{eqnarray} \frac{2}{\pi} \end{eqnarray}$ vergessen zu haben? Außerdem wohl falsch ausgeklammert. Da fehlt im Zähler ein Summand. $\begin{eqnarray} a_n = \frac{2((-1)^n + 1)}{\pi(1-n^2)} \end{eqnarray}$ Sonst aber sieht es gut aus. Wie du siehst ist nun auch von Belang ob n gerade oder ungerade ist. Je nachdem ergibt der Term 0 oder einen Wert. Du kannst das Ergebnis so niederschreiben oder aber du führst eine neue Laufvariable ein, die das berücksichtigt .
09.03.2014, 20:03	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es nochmal durchgerechnet und bin jetzt auf dieses Ergebnis gekommen: $\begin{eqnarray} a_n=\frac{2}{\pi}\left[ \frac{-4(-1)^{n+1}+4}{-4n^2+4} \right] \end{eqnarray}$
09.03.2014, 20:09	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Klammere noch 4 aus und kürze .
09.03.2014, 21:03	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_n=\frac{2}{\pi}\left[ \frac{-(-1)^{n+1}+1}{-n^2+1} \right] \end{eqnarray}$ Für gerade n: $\begin{eqnarray} n=2k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{2k}=\frac{2}{\pi}\left[ \frac{-(-1)^{2k+1}+1}{(-2k)^2+1} \right] \end{eqnarray}$ Für ungerade n: $\begin{eqnarray} n=2k-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{2k-1}=\frac{2}{\pi}\left[ \frac{-(-1)^{2k}+1}{(-2k+1)^2+1} \right] \end{eqnarray*}$
09.03.2014, 21:17	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Was machste denn da? 1. Würde ich mal den Ursprungsausdruck vereinfachen. $\begin{eqnarray} -(-1)^{n+1} = (-1)(-1)^{n+1} = (-1)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_n=\frac{2}{\pi}\left[ \frac{(-1)^{n}+1}{-n^2+1} \right] \end{eqnarray*}$ 2. Du hast doch erkannt, dass jeder zweite Summand unnötig ist, da er sich zu 0 wegrechnet. Das einzige von Belang ist, wenn n ungerade ist. Das ist doch genau dann der Fall, wenn n = 2k-1 Dein zweiter Ausdruck ist deshalb völlig ausreichend. Da ist allerdings was im Nenner schief gegangen. Korrigiere das noch.
09.03.2014, 21:35	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_{2k-1}=\frac{2}{\pi}\left[ \frac{(-1)^{2k-1}+1}{-(2k-1)^2+1} \right] \end{eqnarray*}$
09.03.2014, 21:48	Gastkonto	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank
09.03.2014, 21:51	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Achte übrigens darauf, dass k erst ab 2 losläuft. Für k = 1 wird der Nenner 0 . Oder wähle stattdessen n = 2k+1. Gerne,

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