Integration - Umkehrung der Kettenregel

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09.03.2014, 14:53	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration - Umkehrung der Kettenregel Aufgabe: In einem Science-Fiction-Film beträgt die Geschwindigkeit v(t) einer Weltraumrakete $\begin{eqnarray} v(t)=1000(t+1)^{-0.5} \end{eqnarray*}$ für t großer gleich 0. Fliegt die Rakete "unendlich weit"? Meine Ideen: Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich das uneigentliche Integral mit einer offenen Grenze für x geht gegen unendlich bilden muss. Allerdings habe ich nicht die leiseste Ahnung wie ich diese Funktion "aufgleiten" soll.
09.03.2014, 15:52	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration - Umkehrung der Kettenregel Hallo, es ist $\begin{eqnarray} s(t) = \int_0^{t_1} \! v(t) \, dt = \int_0^{t_1} \! 1000 \cdot (t+1)^{-\frac{1}{2}} \, dt \end{eqnarray}$ Da drängelt sich die Substitution "z=t+1" förmlich auf. Nach dem Substituieren kannst Du die Stammfunktion mit der Potenzregel finden.
09.03.2014, 15:57	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz kurze Frage am Rande: Was ist die Substitution? Ich kenn das nur von der Berechnung von Nullstellen. Im Zusammenhang mit Integration oder Bildung von Stammfunktionen hab ich davon noch nie gehört....
09.03.2014, 16:06	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration - Umkehrung der Kettenregel Substitution bedeutet in diesem Zusammenhang das gleiche wie damals, als es um die Berechnung von Nullstellen ging: das Ersetzen eines Terms durch einen anderen, einfacheren. Gehe folgendermaßen vor: setze z=t+1 und bilde erstmal die Ableitung dz/dt. Also so $\begin{eqnarray} z=t+1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\mathrm d z}{\mathrm d t}= .... ? \end{eqnarray}$
09.03.2014, 16:12	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre dann: $\begin{eqnarray} \frac{dz}{dt} =1 \end{eqnarray}$
09.03.2014, 16:23	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration - Umkehrung der Kettenregel Ja, das stimmt. Und daraus folgt: $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm d z}{\mathrm d t}= 1 \quad \Rightarrow \quad \mathrm d t = \mathrm d z \end{eqnarray}$ Berechne nun das unbestimmte Integral, indem Du "t+1" durch "z", und "dt" durch "dz" ersetzt: $\begin{eqnarray} \int \! 1000 \cdot z^{- \frac{1}{2}} \, dz \end{eqnarray}$ So erhälst Du Deine Stammfunktion in der Form F(z).
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09.03.2014, 16:40	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Inetwa so? $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(z) \, dz= \int_a^b \! 1000 \cdot z^{-0.5} \, dz = F(b)-F(a) = [2000 \sqrt{z}]^b_a = 2000 \cdot \sqrt{b} - (2000 \cdot \sqrt{a}) \end{eqnarray*}$ Und rücksubstituieren?
09.03.2014, 16:54	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration - Umkehrung der Kettenregel Ja, so in etwa. Aber Achtung: Du mußt vor dem Einsetzen Deiner Integralgrenzen zurücksubstituieren! $\begin{eqnarray} \left[ 2000 \cdot \sqrt{z} \right]_{t=0}^{t_1} = 2000 \cdot \left[ \sqrt{t+1} \right]_0^{t_1} \end{eqnarray}$ Und nun, fliegt die Rakete unendlich weit oder nicht?
09.03.2014, 17:49	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} [2000 \cdot \sqrt {z} ]^b _a = [2000 \cdot \sqrt {t+1}]^b _a \end{eqnarray}$ Also so zurück substituieren. Nun die Intervallgrenzen: $\begin{eqnarray} [2000 \cdot \sqrt{t+1}]^z _0 = 2000 \cdot \sqrt {1+t} - 2000 \end{eqnarray}$ Nun der Grenzwert: $\begin{eqnarray} \lim_{t \to \infty } 2000 \cdot \sqrt {1+t} - 2000 = \infty \end{eqnarray}$ Also würde ich sagen ja!
09.03.2014, 18:11	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration - Umkehrung der Kettenregel Jau, würd ich auch sagen (vorrausgessetzt, das Universum wird unendlich alt). Jedenfalls in der Theorie. Praktisch kann natürlich immer was passieren (besonders in SF-Filmen), z.B: Abschuss durch fiese Aiens, Hineinplumpsen in ein Schwarze Loch, Begegnung mit einer Supernova, Unerwartetes Ende des Universums, and so on ...) Nichtsdestotrotz würde ich sagen: Aufgabe gelöst. Well done.
09.03.2014, 18:17	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Steht nix von Zwischenfällen in der Aufgabe :p Aber danke dir!

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