Flächeninhalt und Schwerpunkt eines Dreiecks

09.03.2014, 15:04

Rivago

Flächeninhalt und Schwerpunkt eines Dreiecks

In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Quader durch die Punkte A (4; 0; 0), D (0; 0; 0) und F (4; 6; 3) gegeben. Die Fläche ABCD liegt in der x - y - Ebene.

Man sollte hier erstmal eine die fehlenden Punkte eines Quaders bestimmen und diesen Zeichnen.

Die Punkte sind B (4; 6; 0), C (0; 6; 0), E (4; 0; 3), G (0; 6; 3) und H (0; 0; 3).

Aufgabe d) lautet jetzt wie folgt:
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks AGE.

Meine Lösung: A = 1/2 g*hg = 1/2 * 3 * 6 = 9 FE

Und Aufgabe e):
P sei der Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray*} \overline {EH} \end{eqnarray*}$ , L sei der Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray*} \overline {BC} \end{eqnarray*}$ . Liegt der Schwerpunkt des Dreiecks AGE auf der Verbindungslinie $\begin{eqnarray*} \overline {PL} \end{eqnarray*}$ ?

Ich hab es erstmal gezeichnet und seh, dass der Schwerpunkt nicht auf der Verbindungslinie liegt.
Außerdem hab ich den Schwerpunkt mal ausgerechnet.

$\begin{eqnarray*} S = \frac{1}{3} \cdot \left( \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S = \begin{pmatrix} 8/3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich weiß jetzt nicht genau, ob das reicht. Muss ich noch was machen, um nachzuweisen, dass der Schwerpunkt des Dreiecks nicht auf der Verbindungslinie liegt?

10.03.2014, 00:10

Kasen75

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RE: Flächeninhalt und Schwerpunkt eines Dreiecks

Zitat:

Original von Rivago

Aufgabe d) lautet jetzt wie folgt:
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks AGE.

Meine Lösung: A = 1/2 g*hg = 1/2 * 3 * 6 = 9 FE

Hallo,

das sieht nicht richtig aus. Du wirst m.E. nicht um den Pythagoras rumkommen. Du musst doch die Länge der Strecke $\begin{eqnarray*} \overline{EG} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Zu Teilaufgabe e)

Beim Schwerpunkt habe ich die gleichen Koordinaten.
Hier könntest du einen Geradenvektor bestimmen, der auf der Stecke $\begin{eqnarray*} \overline{PL} \end{eqnarray*}$ liegt. Diesen Vektor kannst du aus den beiden Punkten P und L konstruieren. Dann setzt du diesen Vektor mit dem Schwerpunkt gleich und versuchst eine Lösung für den Parameter zu bestimmen.

Grüße.

10.03.2014, 16:04

Rivago

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Ich versteh nicht, wieso ich hier mit Pythagoras rechnen soll verwirrt

Da ist doch nirgends was rechtwinklig.

Bei der e) komm ich auch nicht wirklich vorran.

Hab mir erstmal die Punkte ausgerechnet:

L (2; 6; 0)
P (2; 0; 3)

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{LP} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt?

10.03.2014, 16:17

Kasen75

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Zitat:

Original von Rivago
Ich versteh nicht, wieso ich hier mit Pythagoras rechnen soll verwirrt

Da ist doch nirgends was rechtwinklig.

Ist die Ecke E nicht rechtwinklig ?

Zitat:

Original von Rivago
Bei der e) komm ich auch nicht wirklich vorran.

Hab mir erstmal die Punkte ausgerechnet:

L (2; 6; 0)
P (2; 0; 3)

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{LP} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt?

Mit dem Parameter t hast du deinen Richtungsvektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot t \end{eqnarray*}$

Jetzt brauchst du noch einen Stützvektor.

10.03.2014, 16:22

Rivago

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Ne also rechtwinklig ist da nach meiner Zeichnung nichts. Kannst ja mal in meinen anderen Thread von gestern gucken, da ist das Dreieck ja im Prinzip auch eingezeichnet.

Mh, von Stützvektor hör ich jetzt zum ersten Mal.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8/3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meinst du das so?

10.03.2014, 16:38

Kasen75

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Zitat:

Original von Rivago
Ne also rechtwinklig ist da nach meiner Zeichnung nichts. Kannst ja mal in meinen anderen Thread von gestern gucken, da ist das Dreieck ja im Prinzip auch eingezeichnet.

Natürlich ist sie perspektivisch verzerrt. Aber es handelt sich doch um einen Quader. Da gibt es so einige rechte Winkel.

Zitat:

Original von Rivago
Mh, von Stützvektor hör ich jetzt zum ersten Mal.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8/3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meinst du das so?

Es fehlt halt noch der Stützvektor. Du musst ja erst einmal die Gerade dort hinbekommen, wo du sie hinhaben willst.

Dazu nimmst du einen der beiden Punkte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8/3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.03.2014, 16:49

Rivago

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Ok, also da kommt 2 mal t = 2/3 und einmal 8/3 ist ungleich 2.

Somit liegt der Schwerpunkt nicht auf der Verbindungslinie.

So richtig hab ich es aber nicht verstanden unglücklich

Beim Dreieck hast du natürlich recht. Ich hab mich von der Zeichnung blenden lassen.

Habe jetzt $\begin{eqnarray*} A = 3\sqrt{13} FE \end{eqnarray*}$

10.03.2014, 16:53

Kasen75

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Zitat:

Original von Rivago
Ok, also da kommt 2 mal t = 2/3 und einmal 8/3 ist ungleich 2.

Somit liegt der Schwerpunkt nicht auf der Verbindungslinie.

So richtig hab ich es aber nicht verstanden unglücklich

Kopfschütteln ist nicht angebracht, denn deine Überlegungen sind richtig.

Zitat:

Original von Rivago
Beim Dreieck hast du natürlich recht. Ich hab mich von der Zeichnung blenden lassen.

Habe jetzt $\begin{eqnarray*} A = 3\sqrt{13} FE \end{eqnarray*}$

Ich auch.