Topologie: Sind Räume homöomorph?

09.03.2014, 18:37

Duude

Topologie: Sind Räume homöomorph?

Hallo,
meine Frage lautet: Sind $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{\geq 0} \times \mathbb{R}_{\geq 0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{\geq 0} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ homöomorph?

Meine intuitive Antwort ist ja, denn der erste Raum ist ja der rechte obere Quadrant und wenn ich diesen einfach langziehe (nach links und dann nach unten drehe (dass die seitliche Gerade auf die x-Achse wandert)) erhalte ich den zweiten Raum. Genau das ist ja, was ich unter Homöomorphie machen kann (ziehen aber nicht brechen).

Allerdings ist es auch so, dass ich bei der oberen Halbebene noch die Gerade mit drin habe, welche die obere Halbebene nach unten abschließt und beim oberen Quadranten habe ich sozusagen zwei Ränder (die Halbgerade nach oben und die nach rechts). Allerdings müsste das auf dasselbe rauskommen. Denn wenn ich die Gerade(welche den zwei Halbgeraden entspricht) rausnehme, erhalte ich jeweils einen zusammenhängenden Raum ohne Rand.

Seid ihr einverstanden, dass die beiden Räume homöomorph sind?

Noch eine Frage zum Schluss:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{\geq 0} \times \mathbb{R}_{\geq 0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{\geq 0} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ müssten beide nicht homöomorph sein zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Denn wenn ich aus der Ebene $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ eine Gerade herausnehme, erhalte ich zwei Zusammenhangskomponenten, wohingegen ich bei den oberen beiden Räumen eine Gerade finde, die ich herausnehmen kann, sodass ich danach immer noch eine Zusammenhangskomponente habe.

Freue mich über eure Rückmeldungen.
lg

09.03.2014, 19:21

weisbrot

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RE: Topologie: Sind Räume hömöomorph?

Zitat:

Seid ihr einverstanden, dass die beiden Räume homöomorph sind?

jap.

Zitat:

wohingegen ich bei den oberen beiden Räumen eine Gerade finde, die ich herausnehmen kann, sodass ich danach immer noch eine Zusammenhangskomponente habe

wie meinst du das?

lg

09.03.2014, 19:31

Duude

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Also ich möchte zeigen, dass zwei Räume nicht homöomorph sind, indem ich über die Zusammnhangskomponenten argumentiere. Diese sind ja konstant unter Homöomorphie.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{\geq 0} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ohne die Gerade y=0 betrachte, dann habe ich eine Zusammenhangskomponente (weil ich ja gerade den Rand herausgenommen habe)
In $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ hingegen finde ich keine Gerade, welche ich herausnehmen könnte, sodass ich wieder eine Zusammenhangskomponente habe. Nehme ich z.B. y=0 heraus, so habe ich zwei Zusammenhangskomponenten, die obere Halbebene und die untere. Bei jeder anderen Geraden passiert dasselbe.
Außer natürlich ich könnte die Gerade bei unendlich herausnehmen (aber ich denke das darf man nicht..)

09.03.2014, 20:41

weisbrot

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achso, ja klar, hab mich verlesen. ja, das geht so, falls das die frage war.

Zitat:

Außer natürlich ich könnte die Gerade bei unendlich herausnehmen (aber ich denke das darf man nicht..)

es gibt keine gerade bei unendlich.

lg

09.03.2014, 20:51

Che Netzer

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Zitat:

Original von Duude
dann habe ich eine Zusammenhangskomponente (weil ich ja gerade den Rand herausgenommen habe)

Es gibt auch zusammenhängende Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , deren Inneres nicht mehr zusammenhängend ist.

Jedenfalls ist dieses "Herausnehmen von Geraden" kein sonderlich gutes Verfahren. Offenbar gibt es auch Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , die nach Entfernen einer festen Geraden in verschieden viele Komponenten zerfallen, aber dennoch homöomorph sind. Das einzige einfache Verfahren dieser Art ist folgendes:
Sind $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ zwei topologische Räume und gibt es einen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0\in X \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} X\setminus\{x_0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y\setminus\{y\} \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} y\in Y \end{eqnarray*}$ verschieden viele Zusammenhangskomponenten haben, so sind $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ nicht homöomorph.

09.03.2014, 21:13

Duude

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Danke noch für eure Antworten..

hmm, ok. Also ich nehme erstmal mit
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{\geq 0} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sind nicht homöomorph. Der Nachweis geht aber nicht über die Entfernung einer Geraden, weil die Entfernung einer Geraden Homöomorphie zweier Räume nicht unbedingt erhält. Alternativ könnte man z.B. über die Entfernung eines Punktes argumentieren. (ich weiß aber hier nicht, wie ich das anwenden könnte). Ich würde stattdessen eher über den Rand argumentieren. In $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist jeder Punkt im Inneren, in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{\geq 0} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ findet man Randpunkte.

Geht das?

Zitat:

Offenbar gibt es auch Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , die nach Entfernen einer festen Geraden in verschieden viele Komponenten zerfallen, aber dennoch homöomorph sind

Das kann ich mir noch nicht so recht vorstellen. Klar ist, wenn ich eine Gerade in R^2 einbette, kann das Komplement 1, 2,3,4,... bis überabzählbar viele Wegkomponenten erhalten, wenn ich diese eingebettete Gerade entferne, sind bei unterschiedlichen Einbettungen (in homöomorphe Räume) die Komplemente sicher nicht mehr homöomorph.
Aber wie ich das lese, meinst du dass ein- und dieselbe Gerade zu entfernen auch nicht geht..
Da denke ich mal noch drüber nach.

09.03.2014, 21:37

Che Netzer

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Zitat:

Original von Duude
Geht das?

Interessantweise schon. Ist eine offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ homöomorph zu einer anderen Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , so muss auch diese offen sein.
Der Beweis dazu ist allerdings nicht ganz einfach und die Aussage wird falsch, wenn man "offen" durch "abgeschlossen" ersetzt: Zum Beispiel ist auch $\begin{eqnarray*} (0,\infty)\times\mathbb R \end{eqnarray*}$ homöomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .
Mehr dazu kannst du jedenfalls hier nachlesen. Dass du das benutzen darfst, ist zu bezweifeln.

Zitat:

Das kann ich mir noch nicht so recht vorstellen.

Nimm dir die abgeschlossene rechte Halbebene $\begin{eqnarray*} [0,\infty)\times\mathbb R \end{eqnarray*}$ und dann noch $\begin{eqnarray*} [-1,\infty)\times\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Entferne jeweils die Gerade $\begin{eqnarray*} \{0\}\times\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

09.03.2014, 22:37

Duude

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Ah doch.. die Invarianz des Gebiets sagt mir was. Den Satz hatten wir in der Vorlesung angeschrieben (ohne Beweis Augenzwinkern

) Viel weiß ich dazu allerdings noch nicht..

Ich habe es zwischenzeitlich mal über die Invarianz des Randes versucht. Das hatten wir in der Vorlesung ausführlicher. Seien U und V offene Mengen aus dem $\begin{eqnarray*} R^n_{\geq 0} \end{eqnarray*}$ und gibt es einen Homöomorphismus von U nach V. Dann wird der Rand stets auf den Rand abgebildet.
(wobei mir gerade auffällt... wir betrachten ja offene Mengen, also kann der Rand von U und V ja eigentlich nur auf dem Rand von $\begin{eqnarray*} R^n_{\geq 0} \end{eqnarray*}$ liegen und muss nach diesem Satz auch wieder auf den Rand von $\begin{eqnarray*} R^n_{\geq 0} \end{eqnarray*}$ abgebildet werden.

Zwei Mengen U und V wie oben aus dem R^n bei denen die eine Rand hat und die andere nicht, können danach also gar nicht homöomorph sein, da der Rand ja auf den Rand abgebildet werden müsste. Also können die betrachteten Mengen nicht homöomorph sein.

Zitat:

ok, damit ist das auch klar smile

10.03.2014, 00:00

Che Netzer

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Zitat:

Original von Duude
Zwei Mengen U und V wie oben aus dem R^n bei denen die eine Rand hat und die andere nicht, können danach also gar nicht homöomorph sein, da der Rand ja auf den Rand abgebildet werden müsste.

Die offene Menge $\begin{eqnarray*} (0,1)\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist homöomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

10.03.2014, 13:32

Louis1991

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Alternativ (standard) kann man einen Randpunkt entfernen und sehen, dass die Domain einfach zusammenhängend ist und die Codomain nicht (homotopieäquivalent zur eindimensionalen Sphäre).

10.03.2014, 16:42

Duude

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Zitat:

Die offene Menge $\begin{eqnarray*} (0,1)\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist homöomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

ja, das ist jetzt nicht gut für meine Argumentation Augenzwinkern

Also stimmt das so nicht, was ich geschrieben hatte und wir müssen doch über das Gebiet argumentieren.

Die Invarianz des Gebietes schau ich mir nochmal an.
Vielen Dank für die Hilfe an alle..

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