Schwerpunktsberechnung einer Kardioiden

09.03.2014, 20:29	Donnie Darko	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunktsberechnung einer Kardioiden Meine Frage: Hallo, ich möchte den Schwerpunkt einer Kardioiden mit einem Doppelintegral berechnen ... In den Grenzen von $\begin{eqnarray} [0;2\pi] \end{eqnarray}$ mit der Funktion $\begin{eqnarray} 1+cos\phi \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zunächst habe ich die Fläche berechnet die $\begin{eqnarray} A=\frac{3}{2}\cdot \pi \end{eqnarray}$ beträgt. Die y - Koordinate wird aus Symmetriegründen 0. Probleme habe ich mit der x Koordinate da ich hierfür $\begin{eqnarray} x_s=\frac{2}{3\cdot \pi}\cdot \int_{\phi=0}^{2\pi} \! \int_{r=0}^{1+cos\phi} \! r^2\cdot cos(\phi) \, dr \, d\phi \end{eqnarray}$ lösen muss. Beim ersten Schritt kommt ja $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\cdot (1+cos\phi)^3\cdot cos\phi \end{eqnarray}$ in Integral vor ... Wie muss man das Substituieren damit man das lösen kann ? Vielen Dank.
10.03.2014, 10:42	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Einerseits schreibst du, dass du den Schwerpunkt einer Kardoiden (=ebene Kurve) berechnen willst, was auf ein 1-faches Integral führt. Andererseits verwendest du aber ein 2-faches Integral, womit man den Schwerpunkt der eingeschlossenen Fläche berechnen kann. Was willst du? ----------------------------------------------- Der Schwerpunkt einer ebenen Kurve ist allgemein $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_s \\ y_s \end{pmatrix}= \frac{1}{s}\cdot \begin{pmatrix} \int_{t_1}^{t_2} x(t) \sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\,\,dt \\ \int_{t_1}^{t_2} y(t) \sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\,\,dt \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} s=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\,\,dt \end{eqnarray}$ die Bogenlänge der Kurve. Die Punkte bedeuten wie üblich die Ableitungen nach dem Parameter t.Wende diese Formel speziell auf die Kardioide (=Herzkurve) an, deren Parameterdarstellung lautet $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a\cdot \cos(t)\cdot [1+\cos(t)] \\ a\cdot \sin(t)\cdot [1+\cos(t)] \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
10.03.2014, 13:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Residuensatz aus der Funktionentheorie kennst, läßt sich das bestimmte Integral mit vertretbarem Aufwand berechnen. Aber ich hätte noch einen anderen Vorschlag: $\begin{eqnarray} \text{()} \ \ \left( 1 + \cos \varphi \right)^3 \cdot \cos \varphi = \cos \varphi + 3 \cos^2 \varphi + 3 \cos^3 \varphi + \cos^4 \varphi \end{eqnarray}$ Man beginnt mit der bekannten Formel: $\begin{eqnarray} \text{(1)} \ \ \cos (2 \varphi) = 2 \color{red} \cos^2 \varphi \color{black} - 1 \end{eqnarray}$ und der (bekannten) Formel: $\begin{eqnarray} \text{(2)} \ \ \cos (3 \varphi) = 4 \color{red} \cos^3 \varphi \color{black} - 3 \cos \varphi \end{eqnarray}$ sowie der (bekannten) Formel: $\begin{eqnarray} \text{(3)} \ \ \cos (4 \varphi) = 8 \color{red} \cos^4 \varphi \color{black} - 8 \color{red} \cos^2 \varphi \color{black} + 1 \end{eqnarray}$ Die Formeln kann man mit den Additionstheoremen herleiten: $\begin{eqnarray} \cos(2 \varphi) = \cos(\varphi + \varphi), \ \cos(3 \varphi) = \cos(2 \varphi + \varphi), \ \cos(4 \varphi) = \cos(2 \cdot 2 \varphi) \end{eqnarray}$ Jede Formel kann für den Beweis der folgenden mitverwendet werden. Auftretende $\begin{eqnarray} \sin^2 \varphi \end{eqnarray}$ werden durch $\begin{eqnarray} 1 - \cos^2 \varphi \end{eqnarray}$ ersetzt. Und jetzt fasse $\begin{eqnarray} \text{(1),(2),(3)} \end{eqnarray}$ als Gleichungssystem auf, in denen die rot markierten Terme die Unbekannten sind. Löse nach diesen Unbekannten auf und setze in das Cosinus-Polynom in $\begin{eqnarray} \text{()} \end{eqnarray}$ ein: $\begin{eqnarray} \left( 1 + \cos \varphi \right)^3 \cdot \cos \varphi = \frac{1}{8} \left( \color{blue} 15 \color{black} + 26 \cos(\varphi) + 16 \cos(2 \varphi) + 6 \cos(3 \varphi) + \cos(4 \varphi) \right) \end{eqnarray}$ Und den rechten Term zu integrieren, sollte kein Problem mehr darstellen. Ja, für das bestimmte Integral kann man es sich noch einfacher machen: Außer beim ersten Summanden ist $\begin{eqnarray} 2 \pi \end{eqnarray}$ ein ganzzahliges Vielfaches der jeweiligen Periode, so daß die Integration über das Intervall $\begin{eqnarray} [0,2\pi] \end{eqnarray}$ Null ergibt. Es ist daher nur noch der erste blau markierte Summand zu berücksichtigen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »