Integral berechnen (mit Residuensatz?)

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alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »
Integral berechnen (mit Residuensatz?)
Hallo zusammen. Ich bin's schon wieder.

Ich bin gerade dabei, ein paar alte Aufgaben in Funktionentheorie durchzurchnen, aber hänge an einer Aufgabe irgendwie komplett. Zu Berechnen ist folgendes Integral:



Um ehrlich zu sein, wüsste ich hier nicht einmal einen Ansatz. Mit dem Residuensatz haben wir immer rein trigonometrische Funktionen, rationale Funktionen oder rational-trigonometrisch-gemischte Funktionen berechnet, aber eine Aufgabe von diesem Typ ist mir noch nie untergekommen.

Ich habe schon überlegt, ob es sich einfach um ein schlichtes komplexes Kurvenintegral handelt, wo lediglich die Ableitung der Kurve als Faktor fehlt, aber kam so leider auch nicht weiter.

Da als Ergebnis einfach die Länge des Integrationswegs, also rauskommt, nehme ich an, dass man eventuell nur einen geschickten "Blick" braucht und ich wahrscheinlich viel zu kompliziert denke.

Für einen kleinen Stups in die richtige Richtung wäre ich sehr dankbar. smile
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Moment mal:

Wenn ich einfach ganz "klassisch" mit dem Vorgehen bei trigonometrischen Funktionen rechne, erhalte ich Folgendes:

.

Jetzt habe ich hier nur verschobene Intervallgrenzen, da wir im klassischen Ansatz für dieses Problem Integrale der Form betrachtet haben.

Aber das macht doch kein Problem, ich kann ja trotzdem als Integrationsweg den Rand des Einheitskreises nehmen, nur starte ich hier eben bei (-1,0) statt bei (1,0), oder?

Würde mich über ein Feedback freuen! smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, So funktioniert es. (Edit: auch wenn ich jetzt nicht die einzelnen Schritte nachgerechnet habe. Die Idee sieht aber gut aus und zur Parametrisierung des Einheitskreises ist jedes Intervall der Länge brauchbar.)
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Rückmeldung. smile Da hatte ich doch den richtigen Riecher.

Manchmal sollte ich meiner Intuition einfach vertrauen, aber ich habe leider die Angewohnheit, oft direkt viel zu kompliziert zu denken und mich dann zu verrennen.
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