Integralsatz von Stokes, Kreis

10.03.2014, 15:04

daniela3456

Integralsatz von Stokes, Kreis

Meine Frage:
Hallo,

ich versuche, den Satz von Stokes anzuwenden:
$\begin{eqnarray*} \int_{Rand F} \! d\vec{r} \vec{A} \, = \int_F \! d\vec{F} rot\vec{A} \, \end{eqnarray*}$ .
Das Vektorfeld soll $\begin{eqnarray*} \vec{A} = \begin{pmatrix} -y \\ x \\ \lambda z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein, und die Fläche ein Kreis in der x-y-Ebene, z=h.
Ich komme am Ende irgendwie nicht weiter bzw habe allgemein irgendwas falschgemacht:

Meine Ideen:
1. Seite:
Parametrisierung: $\begin{eqnarray*} \vec{s_{1} }(\phi) = \begin{pmatrix} rcos\phi \\ rsin\phi \\ h \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Linienelement: $\begin{eqnarray*} d\vec{r} = \begin{pmatrix} -rsin\phi \\ rcos\phi \\ 0 \end{pmatrix} d\phi.<br /> \int_{Rand F} \! d\vec{r}\vec{A} \, = \int_0^{2\pi } \! r^{2} \, d\phi = 2\pi r^{2} \end{eqnarray*}$ .

2. Seite:
Parametrisierung: $\begin{eqnarray*} \vec{s_{2} }(r,\phi) = \begin{pmatrix} rcos\phi \\ rsin\phi \\ h \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Flächenelemtent: $\begin{eqnarray*} d\vec{F} = \begin{pmatrix} 0\\0\\r\end{pmatrix}drd\phi \end{eqnarray*}$
Rotation von A in Zylinderkoordinaten: $\begin{eqnarray*} rot\vec{A}(\vec{s_{2}}) = \begin{pmatrix} 0\\0\\3cos\phi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,
aber
$\begin{eqnarray*} \int_0^R \! \int_0^{2\pi} \! 3rcos\phi d\phi dr \, \, = 0 \end{eqnarray*}$

Wo ist der Fehler? :/

10.03.2014, 21:42

Rabbi

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RE: Integralsatz von Stokes, Kreis
Hi,
der Fehler liegt beim Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec{A} \end{eqnarray*}$ in Zylinder-Koordinaten bzw. $\begin{eqnarray*} \operatorname{rot}\,\vec{A} \end{eqnarray*}$ .
Wie lautet

$\begin{eqnarray*} \left. \vec{A}\right|_{Zyl} =\cdots\;? \end{eqnarray*}$

Tip
Die Rotation ist konstant.

10.03.2014, 23:32

daniela3456

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RE: Integralsatz von Stokes, Kreis
Hi, erst mal danke für deine Antwort!

Hmm, also $\begin{eqnarray*} \vec{A} = \begin{pmatrix} -sin\phi \\ cos\phi \\ h\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in der Umgebung des Zylinders, oder was meinst du?
Wahrscheinlich ist das falsch, weil ich ja damit gerechnet habe Big Laugh

.
Da muss ich ja nur die Parametrisierung einsetzen (?)

10.03.2014, 23:51

Rabbi

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RE: Integralsatz von Stokes, Kreis

Zitat:

Original von daniela3456
Hi, erst mal danke für deine Antwort!

Hmm, also $\begin{eqnarray*} \vec{A} = \begin{pmatrix} -sin\phi \\ cos\phi \\ h\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in der Umgebung des Zylinders, oder was meinst du?
Wahrscheinlich ist das falsch, weil ich ja damit gerechnet habe Big Laugh

Ja, das ist falsch !

Die Komponenten berechnen sich nach

$\begin{eqnarray*} A_r=\vec{A}\cdot \vec{e}_r=\cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{\varphi}=\vec{A}\cdot \vec{e}_{\varphi}=\cdots \end{eqnarray*}$

usw.

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