Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder

10.03.2014, 17:10

Robert93

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Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder

Meine Frage:
Hey Leute,

komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

siehe Anhang

Meine Ideen:
ich suche ja jetzt eine Funktion die meine Mantelfläche in abhängigkeit einer variablen Größe beschreibt.

Dazu hatte ich folgende Idee.
Ist es richtig, dass wenn mein Volumen des Zylinders maximal wird, so ist auch seine mantelfläche maximal?

Wenn dies zutrifft, würde meine Funktion in etwa so aussehen:

$\begin{eqnarray*} f=Volumen_{Halbkugel} - Volumen_{Zylinder} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich das Problem das ich 2 variable Größen in der Funktion habe. Die Höhe und Radius des Zylinders.

Wie bekomme ich da eine Funktion hin, so dass ich nur noch eine Variable Größe raus habe?

10.03.2014, 18:09

sulo

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RE: Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder

Zitat:

Original von Robert93
Dazu hatte ich folgende Idee.
Ist es richtig, dass wenn mein Volumen des Zylinders maximal wird, so ist auch seine mantelfläche maximal?

Das ist nicht zwingend.

Für die zu bildende Funktion musst du den gegebenen Halbkugelradius mit einbeziehen.

Ich werde mich jetzt erst mal in Ruhe mit der Aufgabe befassen.

smile

smile

10.03.2014, 19:05

sulo

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RE: Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder
Ich hatte auf eine Antwort von dir gehofft...

Die Aufgabe habe ich längst durchgerechnet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.03.2014, 19:44

Robert93

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RE: Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder
tut mir leid wegen der verzögerung^^

Lerne grade etwas Keuz- und Quer..

Also okay, meine Rechnung ist bisher folgendes:

$\begin{eqnarray*} V_{k} =\frac{4}{3}*\pi *r_{k}*\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{2}{3} *\pi *r³ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{z}=\pi*r_{z} *h \end{eqnarray*}$

habe also 2 Unbekannte: $\begin{eqnarray*} r_{z} \end{eqnarray*}$

Die Subtraktion beider ergibt: f= $\begin{eqnarray*} \pi*r_{z} *h-\pi*r_{z} *h \end{eqnarray*}$

Jetzt war meine Überlegung den Radius meines Zylinders in Abhängigkeit vom Radius der großen Halbkugel herzubekommen.

Also in etwa wie: $\begin{eqnarray*} r_{k}-x=r_{z} \end{eqnarray*}$

Das kann ich ja jetzt ersetzten in meine Formel oder?
Aber mir ist noch nicht klar wie ich dann die Größen des Zylinders bekomme...

10.03.2014, 19:51

sulo

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RE: Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder
Du brauchst das Volumen nicht, gesucht ist die Mantelfläche. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe auch gesagt, dass du den gegebenen Radius verwenden sollst.
Denke mal an den Pythagoras.

Es hilft, wenn du dir einen Querschnitt durch die Figur aufzeichnest.

smile

smile

10.03.2014, 19:54

Robert93

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RE: Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder
herjee, ich erkenne das einfach nicht unglücklich

unglücklich

Mein Radius wäre doch mit $\begin{eqnarray*} r_{k} \end{eqnarray*}$ mit drinn, oder sehe ich das jetzt falsch?

Ich weiß nicht wie mich ein Querschnitt weiterbringt..

tut mir leid, bin etwas außer Puste momentan..

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10.03.2014, 19:58

Robert93

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RE: Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder
Hmm, ist das so wie du es meinst?

Dann wäre a mein Durchmesser und b meine Höhe..

10.03.2014, 20:01

sulo

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RE: Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder
Und wo kommt der gegebene Halbkugelradius ins Spiel? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sieh es mal so:

[attach]33531[/attach]

smile

smile

10.03.2014, 20:06

Robert93

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RE: Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder
ahh, ja das macht sinn smile

smile

Danke. Ich probier jetzt mal eine Funktion draus zu entwickeln

10.03.2014, 20:08

sulo

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RE: Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder
Nimm dazu die Mantelformel. smile

smile

10.03.2014, 20:20

Robert93

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RE: Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder
Okay alsooo:
(Für meine Bezeichnungen am besten Bild anschauen)

Mantelfläche: $\begin{eqnarray*} M=2*\pi*r*h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_{z}=r_{k}-x \end{eqnarray*}$

Somit habe ich erstmal:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2*\pi*(r_{k}-x)*h \end{eqnarray*}$

so und für h noch (aus dem Dreieck):

$\begin{eqnarray*} h=\sqrt{(r_{k}-x)²+(r_{k})²} \end{eqnarray*}$

Also habe ich eine Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2*\pi*(r_{k}-x)*\sqrt{(r_{k}-x)²+(r_{k})²} \end{eqnarray*}$

ist das soweit gut?

10.03.2014, 20:33

sulo

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RE: Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder
Hmm, mit der Einführung von $\begin{eqnarray*} r_{z}=r_{k}-x \end{eqnarray*}$ machst du die Sache unnötig kompliziert.
Bleibe doch einfach bei $\begin{eqnarray*} r_{z} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Statt $\begin{eqnarray*} r_{k} \end{eqnarray*}$ kannst du auch 2 schreiben.

Ansonsten stimmt es und und kannst ableiten (ich würde aber erst die Vorschläge zur Vereinfachung aufgreifen).

smile

smile

10.03.2014, 20:37

Robert93

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RE: Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder
aber wonach denn dann ableiten?
Brauche doch ne Variable.

$\begin{eqnarray*} r_{k} \end{eqnarray*}$ ist ja keine Variable...

10.03.2014, 20:39

sulo

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RE: Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder
Aber $\begin{eqnarray*} r_{z} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.03.2014, 20:42

Robert93

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RE: Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder
ach herjee Big Laugh

Big Laugh

Tut mir leid, bin total müde gerade Big Laugh

Big Laugh

Ich danke dir, das macht sinn..

Habe dann also $\begin{eqnarray*} f(r_{z})=2*\pi*r_{k}*\sqrt{r_{k}^2-r_{z}^2} \end{eqnarray*}$

danke sehr =)

Ich versuch das mal abzuleiten...
Hilft da die Leibnizregel oder sowas?

10.03.2014, 20:48

sulo

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RE: Extremwertaufgabe Halbkugel-Zylinder
Habe das mal verbessert: $\begin{eqnarray*} f(r_{z})=2*\pi*r_z*\sqrt{4-r_z^2} \end{eqnarray*}$

Kannst du das nachvollziehen?

Bei der Ableitung helfen Produkt- und Kettenregel.

smile

smile

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