Basis von Kern(A)

10.03.2014, 17:16	A.M.	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von Kern(A) Hey, ich haette kurz eine Frage, waere sehr dankbar, wenn mir jemand eine Anregung geben koennte. Ich hab z.B. folgenenden Kern mit dim(Kern(A))=2 2x -1/3y x 0 0 + -1/3y 0 y 0 y Ich weiss nun, dass eine Basis von Kern(A) wie folgt aussieht : 2 -1/3 1 0 0, -1/3 0 1 0 1 Ich hatte jetzt folgende Idee, da meine erste Assoziation eine Rechnung analog der Bestimmung der Basis eines Bildes von einer beliebigen Matrix war, eine 2x5 Matrix zu bilden, die Zeilenstufen Form zu nutzen und daraus die korrespondieren Spaltenvektoren der Koepfe der ZSF zu nutzen. 2 1 0 0 0 -1/3 0 -1/3 1 1 => 1 1/2 0 0 0 0 1 -2 6 6 => Basis = v(1,0), v(1/2,1) Waere denn nun dies auch eine Basis vom Kern(A)? Denn nach Definition ist die dim(Kern(A))=2, duerfte ich doch also theoretisch eine 2x5 Matrix bilden und auch die Basis wie folgt bilden!? Vielen Dank fuer jede Anregung
10.03.2014, 23:51	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist alles äußerst wirr und daher leider kaum nachvollziehbar. Was für eine Matrix ist A? Ich sehe da mit viel Wohlwollen nur zwei Vektoren des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^5 \end{eqnarray}$ , die wiederum von der Wahl von x und y abhängen. Was ist dieses x und y? Parameter? Konstanten? Aus welcher Menge stammen sie? Weiter unten ist dann von v die Rede. Soll das eine Abbildung sein oder vielleicht ein Vielfaches? In der jetzigen Form ist leider nicht zu erkennen, was Du genau wissen möchtest Eine Basis hast Du ja schon am Anfang. Wieso willst Du also eine zweite ermitteln und vor allem wieso so umständlich? Bevor hier keine Klärung erfolgt, wird Dir auch niemand weiterhelfen können.
11.03.2014, 08:33	A.M.	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige das Chaos, ich werde es mal versuchen, grundsaetzlicher zu fragen. Man hat einen Kern element R^n ( n element Natuerlieche Zahlen) und dim(Kern)=n'. Die Dimension vereinfacht vorgestellt ist lediglich die Anzahl der Eintrage der Spaltenvektoren. D.h., man koennte sich doch einen Kern element R^n und dim(Kern)=n' als n' kreuz n Matrix vorstellen. Ich suche nun eine Basis des Kerns. Man lernt, dass eine Basis des Bildes einer Matrix gebildet wird durch die Spaltenvektoren, dessen Koepfe in Zeilenstufenform vorhanden sind, bzw. die Spaltenvektoren, die mit den Koepfen der ZSF korrespondieren. Meine Frage ist nun, ob man dies auch auf den Kern analog anwenden kann. D.h. die n' kreuz n Matrix nutzt, in ZSF umwandelt und nun eine Basis waehlt.
11.03.2014, 17:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann Dir immer noch nicht folgen. Der Kern einer reellen Matrix besteht grundsätzlich (vom Nullraum mal abgesehen) aus unendlich vielen Vektoren. Wenn Du Dir nun n' davon aussuchst, sind die entweder schon linear unabhängig (und somit eine Basis), oder sie erzeugen nicht den kompletten Kern (und können somit auch keine Basis des Kerns enthalten).
12.03.2014, 14:21	A.M.	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank zunaechst fuer die Antwort und Muehe. Und genau da liegt glaube ich meine Schwierigkeit. Nur nochmal zum Verstaendnis, dass ich nicht ein Problem mit den Definitionen habe. Der Kern ist die Menge der Elemente, die auf den Nullraum abgebildet wird. D.h. nach Rangsatz ist Rang(A)= dimKern(A)+ dimIm(A). Also auch anders ausgedrueckt, all die Elemente, die nicht auf das Bild abbilden, bilden auf den Nullraum. Ich habe nun die Vorstellung, dass wenn die dimKern(A)=2 ist, muss doch zwingend die Menge, die auf den Nullraum abbildet, der Vektorraum des R^2 sein. Da vermute ich wohl meinen Fehler, da nach Definition die Basis bei dimKern(A)=2 aus 2 Vektoren bestehen muss, dementsprechend einen 2-dimensionalen Vektorraum aufspannen muss, aber nicht zwingend den R^2. Ich habe auch das Verstaendnisproblem, da fuer mich ad hoc keine Analogie zwischen Berechnung der Basis von Kern und Berechnung der Basis von Bild besteht.
14.03.2014, 23:48	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da liegst Du leider falsch. Der Rang ist die Dimension des Bildraums. Die Summe aus den Dimensionen von kern und bild entspricht der Dimension des Vektorraums, aus dem die abzubildenden Vektoren stammen. Deinen Fehler mit dem R^2 hast Du ja schon selber geklärt: Es muss nur irgendein zweidimensionaler Raum sein (Im dreidimensionalen beispielsweise irgendeine Ursprungsebene) Den Kern einer Matrix berechnest Du über das GLS $\begin{eqnarray} Av=0 \end{eqnarray}$ , den Bildraum über die Zeilen-Stufenfrom von $\begin{eqnarray} A^t \end{eqnarray}$
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