Warum gibt es kein Lebesgue-Maß auf den rationalen Zahlen aus dem Intervall [0; 1]?

10.03.2014, 17:30

Marono

Warum gibt es kein Lebesgue-Maß auf den rationalen Zahlen aus dem Intervall [0; 1]?

Meine Frage:
Hallo!
Es bezeichne Q = rationalen zahlen geschnitten [0; 1] die rationalen Zahlen aus dem Intervall [0; 1]. Zeigen Sie, dass es kein
Lebesgue-Mass auf Q gibt, d.h. ein Mass "m" von der potenzmenge von Q nach [0,unendlich) mit m(Ia,b)=b-a fur alle a,b aus Q
Dabei ist Ia,b=menge der x aus Q mit a<=x<=b

Meine Ideen:
Ich habe mir folgender ansatz ueberlegt:
angenommen solch ein mass m existiert dann fuer 1/3 und 1/2 gilt
m(I1/3,1/2)=1/2-1/3=1/6
wenn ich jetzt irgendwie (zb indem ich die menge I1/3,1/2 anders schreibe) rechnen kann dass m(I1/3,1/2)ungleich 1/6 habe ich ein widerspruch
wurdet ihr die aufgabe auch so herangehen?

03.04.2014, 14:16

kkk-87

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Schau dir mal den Wikipedia-Eintrag zum Lebesgue-Maß an. Dort wird das Lebesque-Maß mittels Carathéodory konstruiert. So musst du vorgehen. Dein Widerspruch entsteht dann meiner Meinung nach, dass in Q jedes Intervall das Maß 0 hat (Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt immer mindestens eine echt reelle Zahl).

Gruß

03.04.2014, 15:46

HAL 9000

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indirekter Beweis
$\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ ist ja abzählbar, aus der Mass-Sigmaadditivität folgt damit dann $\begin{eqnarray*} m\left( \left[0,\frac{1}{2}\right)\right) = \sum_{x\in Q\cap \left[0,\frac{1}{2}\right)} m(\{x\})= \frac{1}{2}-0 = \frac{1}{2}>0 \end{eqnarray*}$ .

Daher muss nun mindestens ein $\begin{eqnarray*} x_0\in Q\cap \left[0,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon:=m(\{x_0\})>0 \end{eqnarray*}$ existieren. Jetzt wählt man nur noch eine rationale Zahl $\begin{eqnarray*} 0<r<\varepsilon \end{eqnarray*}$ und hat mit

$\begin{eqnarray*} r = m([x_0,x_0+r)) \geq m(\{x_0\}) = \varepsilon \end{eqnarray*}$

einen Widerspruch.

EDIT: Bezeichnungen angepasst. Augenzwinkern

03.04.2014, 17:34

Che Netzer

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RE: indirekter Beweis

Zitat:

Original von HAL 9000
Jetzt wählt man nur noch eine rationale Zahl $\begin{eqnarray*} 0<r<\varepsilon \end{eqnarray*}$ und hat mit

$\begin{eqnarray*} r = m([x_0,x_0+r)) \geq m(\{x_0\}) = \varepsilon \end{eqnarray*}$

einen Widerspruch.

Oder aber man sieht
$\begin{eqnarray*} m(\{x_0\})=m(I_{x_0,x_0})=x_0-x_0=0\,. \end{eqnarray*}$
Dann hat man den Widerspruch (zur Existenz des Maßes) auch direkt mit
$\begin{eqnarray*} 1=m(\mathbb Q\cap[0,1])=\sum_{x\in\mathbb Q\cap[0,1]}m(\{x\})=0\,. \end{eqnarray*}$

Und genau genommen kann man ohne weitere Überlegung gar nicht von
$\begin{eqnarray*} m\bigl([0,\tfrac12)\bigr)=\frac12 \end{eqnarray*}$
oder (präziser)
$\begin{eqnarray*} m\bigl(\mathbb Q\cap[0,\tfrac12)\bigr)=\frac12 \end{eqnarray*}$
ausgehen, sondern müsste $\begin{eqnarray*} \frac12 \end{eqnarray*}$ noch hinzunehmen.

03.04.2014, 17:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Che Netzer
$\begin{eqnarray*} m(\{x_0\})=m(I_{x_0,x_0})=x_0-x_0=0\,. \end{eqnarray*}$

Die Forderung $\begin{eqnarray*} m([a,b))=b-a \end{eqnarray*}$ bezog sich zunächst nur auf solche halboffenen Intervalle. Aber richtig, über Maßstetigkeit bekommt man dann auch $\begin{eqnarray*} m([a,b])=b-a \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Halt, du hast Recht - ich hab die ganze Zeit da oben Ia,b) als latexfreie Darstellung von $\begin{eqnarray*} [a,b) \end{eqnarray*}$ gelesen (sicher auch aus blanker Gewohnheit, da Inhalte zunächst meist über halboffenen Intervalle definiert werden Augenzwinkern

), dabei ist es hier

Zitat:

Original von Marono
Dabei ist Ia,b=menge der x aus Q mit a<=x<=b

ja erklärt. Ein sofortiges, übliches [a,b] wäre natürlich gleich besser gewesen. Augenzwinkern

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