Innere und äußere Funktion bei der Kettenregel

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10.03.2014, 20:14	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Innere und äußere Funktion bei der Kettenregel Meine Frage: Hi zusammmen, woran erkenne ich denn bei der Kettenregel die innere und die äußere Funktion (gerne auch anhand eines Beispieles erklärt) Besten Dank Meine Ideen: Leider keine
10.03.2014, 20:23	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Die äußere Funktion heißt nicht umsonst "äußere" Funktion Sie ist die Funktion, die auf eine andere Funktion angewendet wird. Du suchst also immer eine Funktion, die um ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ oder ein $\begin{eqnarray} x^2+3 \end{eqnarray}$ herumgepackt ist, deswegen ist sie auch meist außerhalb einer Klammer zu finden. Generell entsteht so etwas bei der Verkettung von Funktionen (deswegen auch "Kettenregel" beim Ableiten), wenn also zwei Funktionen nacheinander ausgeführt werden, also zuerst $\begin{eqnarray} f(x)=x^2+2 \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} g(x)=x^3 \end{eqnarray}$ . Die äußere Funktion ist immer die, die später ausgeführt wird Was wäre denn die äußere Funktion bei $\begin{eqnarray} (x^2-3\sin x)^4 \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} \sin(x^2) \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} \sqrt[5]{\cos(x)} \end{eqnarray}$ ? Lg kgV
10.03.2014, 20:25	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Verkettung liegt ja dann vor, wenn die Funktion die einem vorliegt durch das Einsetzen einer Funktion in eine andere erzeugt wird bzw. werden kann. Dann ist eigentlich immer klar ersichtlich, welche die innere und welche die äußere ist. Beispiele: f(x) = cos(x²) mit g(x) = cos(x) als die äußere Funktion und h(x) = x² als die innere. cos(x) ist die äußere Funktion, weil g(h(x)) = cos(h(x)) = cos(x²) = f(x) ist. h(g(x)) wäre übrigens cos²(x), was nicht f(x) entspricht. f(x) = (x+2)³ mit g(x) = x³ als äußere Funktion und h(x) = x+2 als innere. x² ist die äußere Funktion, weil g(h(x)) = (h(x))³ = (x+2)³ = f(x) ist. f(x) = exp(sin(x²)) mit g(x) = exp(x) als äußere Funktion und h(x) = sin(x²) als innere. exp(x) ist die äußere Funktion, weil g(h(x)) = exp(h(x)) = exp(sin(x²)) = f(x) ist. (exp(x) ist die E-Funktion).
10.03.2014, 20:28	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre dass dann bei der Funktion $\begin{eqnarray} (x^2-3\sin x)^4 \end{eqnarray}$ für die äußere Funktion nur Hoch 4 und die innere dann $\begin{eqnarray} (x^2-3\sin x) \end{eqnarray}$
10.03.2014, 20:31	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Jep
10.03.2014, 20:32	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Blöde Frage, wie leite ich denn nur Hoch 4 ab?
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10.03.2014, 20:33	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, das heißt schon $\begin{eqnarray} x^4 \end{eqnarray}$ , keine Sorge Du kannst also ganz "normal" ableiten
10.03.2014, 20:36	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, ich glaube es zu verstehen. Hättest du vielleicht ein Beispiel von einer e-Funktion für mich?
10.03.2014, 20:40	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du nur eine zum Ableiten brauchst, nimm doch das letzte Beispiel von Namenloser 324, ansonsten hier noch zwei oder drei: $\begin{eqnarray} f(x)=e^{x^2+2x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=e^{\sin(x)} \end{eqnarray}$ Und als Krönung: $\begin{eqnarray} e^{\cos(x^2+2x+3)} \end{eqnarray}$
10.03.2014, 20:49	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=e^{x^2+2x} \end{eqnarray}$ wäre da jetzt $\begin{eqnarray} x² \end{eqnarray}$ die äußere Ableitung?
10.03.2014, 20:52	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die äußere Funktion ist die e-Funktion. Was ist denn die Ableitung davon?
10.03.2014, 20:55	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^{x²} \end{eqnarray}$ dann? Da wäre die Ableitung dann $\begin{eqnarray} e^{x²} 2x \end{eqnarray*}$
10.03.2014, 20:59	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Funktion nur $\begin{eqnarray} e^{x^2} \end{eqnarray}$ lauten würde, wäre das richtig. So aber musst du noch 2x im Exponenten und die Ableitung davon auf Basisebene ergänzen. Ich schreib mal ein allgemeines Schema hin: $\begin{eqnarray} f(x)=e^{g(x)} \end{eqnarray}$ . Dabei kann g(x) ein beliebiger Ausdruck sein, alles, was eben im Exponent stehen kann. Für die Ableitung gilt dann (nach der Kettenregel) $\begin{eqnarray} f'(x)=g'(x)\cdot e^{g(x)} \end{eqnarray}$ . Du leitest also im Grunde nur den Exponenten ab und multiplizierst die Ausgangsfunktion damit
10.03.2014, 21:04	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin gerade echt zu blöd, um das mit der äußeren und inneren Ableitung zu verstehen?
10.03.2014, 21:06	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo genau stehst du im Wald? Wenn du mir das beschreiben könntest, kann ich dich unter Umständen da rausholen Was genau verstehst du an den Ableitungen nicht? Was wohin gehört?
10.03.2014, 21:09	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Geduld, ich wäre schon lange ausgeflippt mit mir Du schreibst ,,Die äußere Funktion ist immer die, die später ausgeführt wird". Also würde jetzt zum Beispiel $\begin{eqnarray} x³ \end{eqnarray}$ im Gegensatz zu $\begin{eqnarray} x² \end{eqnarray}$ für die äußere Funktion gewinnen?
10.03.2014, 21:12	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ganz so war das nicht gemeint Bevor ich loslegen kann, zwei Fragen: habt ihr die Hintereinanderausführung von Funktionen behandelt? Weißt du, was $\begin{eqnarray} f\circ g \end{eqnarray}$ bedeutet? Darauf bezieht sich das "später ausführen" nämlich. mehr dazu, nachdem ich weiß, wo ich mit den Erklärungen ansetzen muss
10.03.2014, 21:15	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sagt mir jetzt beides nichts. Ich war damals eine Woche im Klinikum und das muss ich gerade ziemlich heftig in der Schule spüren :-)
10.03.2014, 21:25	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun gut, $\begin{eqnarray} f\circ g \end{eqnarray}$ bedeutet $\begin{eqnarray} f(g(x)) \end{eqnarray}$ , das heißt, dass zuerst g(x) bestimmt wird, und dann darauf f angewendet wird. Wenn wir und das bei unserem Beispiel $\begin{eqnarray} e^{x^2+2x} \end{eqnarray}$ ansehen, dann muss zuerst $\begin{eqnarray} g(x)=x^2+2x \end{eqnarray}$ ausgeführt werden und dann erst $\begin{eqnarray} f(x)=e^x \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} f(g(x))=f(x^2+2x)=e^{x^2+2x} \end{eqnarray}$ . Andersrum würde die Funktion etwas anders ausschauen, nämlich $\begin{eqnarray} e^{2x}+2e^x \end{eqnarray}$ Im Allgemeinen müssen immer zuerst die Funktionen augeführt werden, die tiefer im Endprodukt stecken. Das kannst du dir so merken, dass du, um die innere Funktion zu bekommen, immer zuerst die Gleichung umformen musst. Hier müsstest du z.B. den $\begin{eqnarray} \ln \end{eqnarray}$ anwenden, um an die innere Funktion zu kommen, bei $\begin{eqnarray} (3x+2)^4 \end{eqnarray}$ müsstest du zuerst die vierte Wurzel ziehen, um an die innere Funktion 3x+2 zu kommen. So, jetzt bin ich etwas abgeschweift: "später ausführen" bedeutet "tiefer in der Funktion stecken", also ist die äußere Funktion der Teil des Ganzen, den du ohne Umformungen bekommst Ist das einigermaßen verständlich?
10.03.2014, 21:27	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist sogar sehr verständlich erklärt
10.03.2014, 21:32	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann mal weiter zum nächsten Teil: der Ableitung. Die Ableitungsregel lautet ja: $\begin{eqnarray} f(x)=g(h(x))\rightarrow f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x) \end{eqnarray}$ . Das bedeutet, dass du nur die innere und äußere Funktion ermitteln musst, dann kannst du leicht die Ableitung bestimmen Wollen wir mal einen Test machen: Innere und äußere Funktion von $\begin{eqnarray} f(x)=\sin(x^2\cdot\cos(x)) \end{eqnarray}$
10.03.2014, 21:37	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Sinus und Cosinus- Funktionen haben wir leider noch nicht, dies hindert mich aber nicht daran, zumindest die innere und äußere Ableitung einmal zu versuchen. Äußere Ableitung: $\begin{eqnarray} sin \end{eqnarray}$ Innere Ableitung: $\begin{eqnarray} x²cos(x) \end{eqnarray*}$
10.03.2014, 21:40	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, du meinst sicher innere bzw. äußere Funktion, die Zuordnung stimmt aber - und ob du die Ableitungen von Sinus und Cosinus kennst, ist im Moment unerheblich. Es geht hier nur darum, dir ein Gefühl dafür zu vermitteln, was innere und äußere Funktionen sind Noch zwei letzte Tests: $\begin{eqnarray} (x^2-1)^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^{3x-4} \end{eqnarray}$ . Was sind hier innere/äußere Funktionen? Wenn wir das haben, dann versuchen wir uns an einer konkreten Ableitung, ok?
10.03.2014, 21:46	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, natürlich meinte ich die Funktion :-) Also, bei $\begin{eqnarray} (x²-1)³ \end{eqnarray}$ ist die äußere Funktion $\begin{eqnarray} x³ \end{eqnarray}$ und die innere Funktion: $\begin{eqnarray} x²-1 \end{eqnarray}$ Bei der zweiten bin ich ich mir nicht ganz sicher, versuche es aber mal: äußere Funktion: $\begin{eqnarray} 3x-4 \end{eqnarray}$ innere Funktion: $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$
10.03.2014, 21:50	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Funktion stimmt richtig erkannt Bei der zweiten ist dem aber nicht so, leider Ob du richtig liegst, kannst du aber ganz einfach überprüfen: du musst in den Ausdruck, den du für die äußere Funktion hältst, einfach für x die innere Funktion einsetzen. In deinem Fall sähe das so aus: aus $\begin{eqnarray} 3x-4 \end{eqnarray}$ wird $\begin{eqnarray} 3e^x-4 \end{eqnarray}$ . Wenn du andersrum einsetzt, dann wird aus $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ der korrekte Ausdruck $\begin{eqnarray} e^{3x-4} \end{eqnarray}$
10.03.2014, 21:51	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, dann habe ich die äußere und innere Funktion vertauscht?
10.03.2014, 21:53	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Wollen wir uns an eine Ableitung wagen, oder lieber noch ein paar Funktionen zuordnen?
10.03.2014, 21:54	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Wagen wir es
10.03.2014, 21:56	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann mal los: $\begin{eqnarray} f(x)=(x^2+2)^3 \end{eqnarray}$ Innere und äußere Funktion bestimmen, mit der Probe bestätigen und dann die erste Ableitung bilden
10.03.2014, 22:02	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung befindet sich im Anhang :-)
10.03.2014, 22:08	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast alles richtig Zuordnung passt, Probe ist auch in Ordnung Bei der Ableitung stimmt etwas nicht: in der "Formel" steht $\begin{eqnarray} f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x) \end{eqnarray}$ (g strich von h von xmal g strich von x). Deine Interpretation sieht so aus: $\begin{eqnarray} f'(x)=g'(x)\cdot h(x)\cdot h'(x) \end{eqnarray}$ (g strich mal h von x mal g strich von x) Dein Fehler: du musst in die Ableitung von g, also in $\begin{eqnarray} 3x^2 \end{eqnarray}$ , was im Übrigen die richtige Ableitung ist, anstatt x die Funktion h(x) einsetzen. Wie muss die Ableitung dann lauten? Du brauchst sie nebenbei nicht ausmultiplizieren, es genügt mir völlig, wenn sie richtig zusammengesetzt ist
10.03.2014, 22:21	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur noch eine kurze Verständnisfrage bevor ich das bearbeite: Was genau in der Formel ist jetzt g' , h(x) und h' Ich kann jetzt die äußere und innere Funktion gerade nicht so recht zuordnen?
10.03.2014, 22:24	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
g ist die äußere Funktion, h ist die innere Funktion. g' und h' sind ihre jeweiligen Ableitungen. Es gilt also $\begin{eqnarray} f(x)=g(h(x)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x) \end{eqnarray}$ . Du brauchst aber theoretisch nicht alles neu zu machen. Du hast ja nur den einen kleinen Fehler, einmal ein x statt der Funktion h(x) geschrieben zu haben (was dich aber durchaus nicht davon abhalten soll, es dennoch zu tun - Übung macht den Meister )
10.03.2014, 22:29	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann mal auf ein Neues :-) $\begin{eqnarray} f'(x) = 3(x²+2)² 2x \end{eqnarray*}$
10.03.2014, 22:32	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
sieht nicht mal so schlecht aus Nur: wo kommt dieses zweite $\begin{eqnarray} x^2+2 \end{eqnarray}$ her? Das taucht in der "Formel" nicht auf... Sonst aber sehr gut
10.03.2014, 22:34	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, das hat sich eingeschlichen, habe es korrigiert :-)
10.03.2014, 22:36	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt jetzt Wird das Prinzip der Kettenregel langsam klarer?
10.03.2014, 22:37	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber hallo Da suche ich mir morgen noch ein paar Übungen dazu raus und dann läuft das Thema Weißt du zufällig eine Website, wo ich Übungen zu Ableitungen von E-Funktionen herbekomme?
10.03.2014, 22:43	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Wunderbar Nun, diese hier sieht nicht so schlecht aus... Allerdings sind nur die Übungen 1-3 reine Kettenregelsache, Nummer 4 der zweite Summand geht auch noch, danach ist überall die Produktregel mit von der Partie. Wenn du willst, kann ich dir hier auch ohne weiteres zehn Aufgaben mit Ergebnis (nur zur Kontrolle) aufschreiben, an denen du dich dann evtl. versuchen kannst
10.03.2014, 22:44	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre super von dir (Nur wenn es keine Umstände macht)

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