Multiplikation von Tensoren

11.03.2014, 10:26	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplikation von Tensoren Meine Frage: Vorweg eine Definition aus Bronsteins "Taschenbuch der Mathematik", Kapitel 8.3.1.3. "Tensorrechnng": Der antisymmetrische Anteil einer 3-dimensionalen Matrix $\begin{eqnarray} a_{ijk} \end{eqnarray}$ ist definiert als die Matrix $\begin{eqnarray} a_{[ijk]}=\tfrac{1}{3!}\cdot (a_{ijk}+a_{jki}+a_{kij}-a_{jik}-a_{kji}-a_{ikj}) \end{eqnarray}$ Offenbar sind die Vorzeichen innerhalb der Klammer positiv bei gerader Permutation der Indizes ijk und negativ bei ungerader Permutation. Diese Definition kann man auf Matrizen mit beliebig vielen Indizes verallgemeinern. Frage: Gegeben sind zwei n-dimensionale Matrizen $\begin{eqnarray} a_{i_1i_2...i_n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{i_1i_2...i_n} \end{eqnarray}$ . Die Matrix $\begin{eqnarray} a_{i_1i_2...i_n} \end{eqnarray}$ sei beliebig. Dagegen sei die Matrix $\begin{eqnarray} b_{i_1i_2...i_n} \end{eqnarray}$ vollständig antisymmetrisch, d.h. bei Vertauschung eines beliebigen Indexpaares ändert sich das Vorzeichen gemäß $\begin{eqnarray} b_{...i_h...i_m...}=-b_{...i_m...i_h...} \end{eqnarray}$ . Meine Frage ist, ob folgender Identität gilt $\begin{eqnarray} \underbrace{\sum\limits_{i_1=1}^N...\sum\limits_{i_n=1}^N}_{\text{n Summen}}a_{i_1i_2...i_n}b_{i_1i_2...i_n}=\underbrace{\sum\limits_{i_1=1}^N...\sum\limits_{i_n=1}^N}_{\text{n Summen}}a_{[i_1i_2...i_n]}b_{i_1i_2...i_n} \end{eqnarray}$ Die Frage ist also, ob man die Matrix $\begin{eqnarray} a_{i_1i_2...i_n} \end{eqnarray}$ durch ihren antisymmetrischen Anteil $\begin{eqnarray} a_{[i_1i_2...i_n]} \end{eqnarray}$ gemäß obiger Definition ersetzen kann, ohne dass sich der Wert der Summe ändert. Meine Ideen: Für zwei Indizes ij gilt der Satz offenbar, weil sich jede 2-dimensionale Matrix als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix darstellen lässt gemäß $\begin{eqnarray} a_{ij}=\underbrace{\tfrac{1}{2}(a_{ij}+a_{ji})}_{\text{symmetrischer Anteil}}+\underbrace{\tfrac{1}{2}(a_{ij}-a_{ji})}_{\text{antisymmetrischer Anteil}} \end{eqnarray}$ Demnmach ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i_n=1}^N \sum\limits_{i_n=1}^N a_{ij}b_{ij}=\underbrace{\sum\limits_{i_n=1}^N \sum\limits_{i_n=1}^N\underbrace{\tfrac{1}{2}(a_{ij}+a_{ji})}_{\text{symmetrischer Anteil}}b_{ij}}_{\text{verschwindet}}+\sum\limits_{i_n=1}^N \sum\limits_{i_n=1}^N\underbrace{\tfrac{1}{2}(a_{ij}-a_{ji})}_{\text{antisymmetrischer Anteil}}b_{ij}=\sum\limits_{i_n=1}^N \sum\limits_{i_n=1}^N a_{[ij]}b_{ij} \end{eqnarray}$ Die erste Doppelsumme verschwindet offenbar wegen der vorausgesetzten Antisymmetrie von $\begin{eqnarray} b_{ij} \end{eqnarray}$ , denn jede Doppelsumme über eine symmetrische und eine antisymmetrische Matrix verschwindet, weil sich die Summanden paarweise aufheben. Damit wäre der Satz erfüllt. Bei mehr als 2 Indizes lässt sich die Matrix aber nicht mehr als Summe aus einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix darstellen.
11.03.2014, 22:35	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht das für mehrere Indizes nicht haargenauso durch? Ich schreibe mal $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ für die Indexfolge $\begin{eqnarray} i_1\dotso i_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi.i \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \pi(i_1)\dotso\pi(i_n) \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} \pi\in S_n \end{eqnarray}$ . Dann setze $\begin{align} a_{[i]}&:=\frac1{n!}\sum_\pi\operatorname{sgn}\pi a_{\pi.i}\,,\\a_{(i)}&:=\frac1{n!}\sum_\pi a_i\,. \end{align}$ Dann ist $\begin{eqnarray} \sum_ia_{(i)}b_i=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{(i)}+a_{[i]}=\frac2{n!}\sum_{\operatorname{sgn}\pi=1}a_{\pi.i} \end{eqnarray}$ – konstant auf allen Bahnen von Indizes unter der Wirkung gerader Permutationen; diese bestehen aus je $\begin{eqnarray} \frac{n!}2 \end{eqnarray}$ Elementen. Außerdem ist $\begin{eqnarray} b_i=b_{\pi.i} \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ gerades Signum hat (ist also ebenfalls konstant auf diesen Bahnen). Demnach ist $\begin{eqnarray} \sum_ia_{[i]}b_i=\sum_i(a_{[i]}+a_{(i)})b_i=\sum_ia_ib_i\,. \end{eqnarray}$
12.03.2014, 14:12	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Che Netzer Danke. Du hast das Problem auf den Fall mit 2 Indizes zurückgeführt. Deine Argumantation ist rein formal, so dass der Aha-Effekt etwas auf der Strecke. Aber richtig ist es. ------------------------ Ich habe mir den Beweis nachträglich an folgendem Beispiel klar gemacht: Bei n=3 Indizes, welche jeweils N=5 Werte durchlaufen (=1,2,3,4,5), hat die 3-fach-Summe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{N=5}\sum\limits_{j=1}^{N=5}\sum\limits_{k=1}^{N=5}a_{ijk}b_{ijk} \end{eqnarray}$ wegen der Antisymmetrie von $\begin{eqnarray} b_{ijk} \end{eqnarray}$ maximal $\begin{eqnarray} \tfrac{5!}{(5-3)!}=60 \end{eqnarray}$ Summanden. Diese kann man in $\begin{eqnarray} \tfrac{5!}{(5-3)!3!}=10 \end{eqnarray}$ Gruppen zu je $\begin{eqnarray} 3!=6 \end{eqnarray}$ Summanden aufteilen (also 106=60), wobei sich die Indizes innerhalb einer Gruppe nur in der Reihenfolge unterscheiden, also. - 1.Gruppe: $\begin{eqnarray} a_{123}b_{123}+a_{231}b_{231}+a_{312}b_{312}+a_{213}b_{213}+a_{321}b_{321}+a_{132}b_{132} \end{eqnarray}$ - 2.Gruppe: $\begin{eqnarray} a_{124}b_{124}+a_{241}b_{241}+a_{412}b_{412}+a_{214}b_{214}+a_{421}b_{421}+a_{142}b_{142} \end{eqnarray}$ ... - 10.Gruppe: $\begin{eqnarray} a_{345}b_{345}+a_{453}b_{453}+a_{534}b_{534}+a_{435}b_{435}+a_{543}b_{543}+a_{354}b_{354} \end{eqnarray}$ Wegen der Antisymmetrie sind die $\begin{eqnarray} b_{ijk} \end{eqnarray}$ innerhalb einer Gruppe gleich (bis auf das Vorzeichen), weshalb man $\begin{eqnarray} b_{ijk} \end{eqnarray}$ ausklammern kann, also: - 1.Gruppe: $\begin{eqnarray} b_{123}\cdot \underbrace{(a_{123}+a_{231}+a_{312}-a_{213}-a_{321}-a_{132})}_{3!\cdot a_{[123]}}=3!\cdot b_{123}a_{[123]} \end{eqnarray}$ - 2.Gruppe: $\begin{eqnarray} b_{124}\cdot \underbrace{(a_{124}+a_{241}+a_{412}-a_{214}-a_{421}-a_{142})}_{3!\cdot a_{[124]}}=3!\cdot b_{124}a_{[124]} \end{eqnarray}$ ... - 10.Gruppe: $\begin{eqnarray} b_{345}\cdot \underbrace{(a_{345}+a_{453}+a_{534}-a_{435}-a_{543}-a_{354})}_{3!\cdot a_{[345]}}=3!\cdot b_{345}a_{[345]} \end{eqnarray*}$ Nun kann man diese 10 Gruppen leicht auf die gewünschte Art zusammenfassen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »