Induktion Summe von k^4

11.03.2014, 17:18	JohnLemon	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion Summe von k^4 Hi! Ich versuche mich gerade an mehreren Induktionsbeweisen, und obwohl mir die meisten nicht so schwer fallen stehe ich bei diesem ein wenig auf der Leitung. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k^{4} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{30} n (n+1) (2n+1) (3n^2 + 3n -1) \end{eqnarray}$ Habe dann Ind.anf. mit n=1, und dann Induktionsschritt mit n+1 usw: zu zeigen ist demnach: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}k^{4}=\frac{1}{30}(n+1)(n+2)(2n+3)(3(n+1)^{2}+3n+2) \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k^{4}+(n+1)^{4} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{30}n (n+1) (2n+1) (3n^2 + 3n -1) + (n+1)^{4} \end{eqnarray}$ Ich könnte das jetzt zwar beinhart "durchrechnen", aber irgendwo muss es da doch einen Trick geben um das zu vereinfachen (wie bei $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n}k^{2} \end{eqnarray}$ ) Wenn ihr mir weiterhelfen könntest wäre ich euch sehr dankbar
11.03.2014, 17:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieh $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ wie eine reelle Variable $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ an. Dann sind $\begin{eqnarray} p(x) = (x+1)(x+2)(2x+3) \left( 3(x+1)^2 + 3x + 2 \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q(x) = x(x+1)(2x+1)(3x^2 + 3x - 1) +30(x+1)^4 \end{eqnarray}$ zwei Polynome vom Grad $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ . Wenn sie an $\begin{eqnarray} 6 \end{eqnarray}$ verschiedenen Stellen übereinstimmen, sind sie gleich. $\begin{eqnarray} p(-2) = 0 \end{eqnarray}$ wegen des Linearfaktors $\begin{eqnarray} x+2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q(-2) = (-2) \cdot (-1) \cdot (-3) \cdot 5 + 30 \cdot (-1)^4 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(-1) = 0 \end{eqnarray}$ wegen des Linearfaktors $\begin{eqnarray} x+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q(-1) = 0 \end{eqnarray}$ wegen des Linearfaktors $\begin{eqnarray} x+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(0) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q(0) = 30 \end{eqnarray}$ wegen des Linearfaktors $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ Und dann noch dreimal.

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