Konvergenz einer Folge

11.03.2014, 18:15

le_Foo

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Konvergenz einer Folge

Hallo!

Ich habe wieder mal ein Problem mit der Konvergenz einer Folge.

Aufgabe:
Man zeige, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, indem man zu beliebigem $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ angebe.

$\begin{eqnarray*} <br /> a_n = \frac{n}{4^n}<br /> \end{eqnarray*}$

Die Folge konvergiert offensichtlich gegen 0.

Ich suche mir den Index $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ indem ich folgende Ungleichung löse:

$\begin{eqnarray*} <br /> |\frac{n}{4^n} - 0| < \varepsilon<br /> \end{eqnarray*}$

Mir fehlt leider jede Idee wie ich es anstellen könnte dass ein einzelnes n auf einer Seite steht und damit der Index nur von Epsilon abhängt.

Wäre dankbar für ein paar Denkanstöße.

lg

11.03.2014, 18:54

HAL 9000

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Vielleicht lässt du dich durch deinen anderen Thread zu einer Idee inspirieren? Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.03.2014, 19:10

le_Foo

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Naja, mir ist schon klar dass die vollständige Induktion von $\begin{eqnarray*} n < 2^n \end{eqnarray*}$ mir dabei hilft eine Konvergenz gegen 0 zu beweisen.

Unklar ist mir wie ich davon auf einen Index (in Abhängigkeit von Epsilon) schließen kann.

Mit viel herumprobieren komme ich auf

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> n = \lceil log_4 (\frac{1}{\varepsilon})\rceil +1<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Dabei habe ich die Ungleichung ersetzt durch:

$\begin{eqnarray*} <br /> |\frac{1}{4^n} - 0 | < \varepsilon<br /> \end{eqnarray*}$

Kann das zulässig sein? Kommt mir irgendwie falsch vor.

11.03.2014, 19:12

HAL 9000

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Nein, das ist die falsche Richung. unglücklich

unglücklich

Keiner verlangt, dass du die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2^n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

"löst".

Lösen heißt nämlich, alle Werte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ anzugeben, die diese Ungleichung erfüllen. Hier wird aber nur gefordert, ein genügend großes $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ anzugeben, so dass alle $\begin{eqnarray*} n\geq N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ Lösungen sind - ob es zusätzlich auch noch kleinere Lösungen gibt, interessiert dabei nicht im geringsten.

--------------------------

Es ist laut dieser Aussage im anderen Thread

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{4^n} < \frac{2^n}{4^n} = \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

Wenn du nun dafür sorgst, dass die rechte Seite $\begin{eqnarray*} \leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist, dann ist es die linke Seite für jene $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ erst recht!

11.03.2014, 19:31

le_Foo

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Mal schauen ob ich das so richtig verstehe:

Wenn ich für ein bestimmtes Epsilon (sagen wir mal 0,25) die ursprüngliche Ungleichung auflöse, würde ich den Index der Folge erhalten ab dem die Ungleichung stimmt, dh ab dem alle weiteren Folgenglieder innerhalb der Epsilon-Umgebung liegen.

Da ich die Ungleichung nicht so einfach nach n umformen kann, wähle ich ein größeres Folgenglied (von dem ich vorher bewiesen habe dass es größer ist als das Folgenglied der ersten Ungleichung) das die Umformung nach n leicht ermöglicht. Damit habe ich zwar nicht den kleinsten Index (zum vorgegebenen Epsilon) ab dem alle weiteren Folgenglieder innerhalb der Epsilonumgebung liegen, aber die Ungleichung stimmt für alle ab diesem Index.

Dh mein N(Epsilon) errechnet sich dann so:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> N(\varepsilon) = \lceil ld (\frac{1}{\varepsilon})\rceil<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

11.03.2014, 19:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von le_Foo
Wenn ich für ein bestimmtes Epsilon (sagen wir mal 0,25) die ursprüngliche Ungleichung auflöse, würde ich den Index der Folge erhalten ab dem die Ungleichung stimmt, dh ab dem alle weiteren Folgenglieder innerhalb der Epsilon-Umgebung liegen.

Im vorliegenden Fall ja.

Es kann aber durchaus auch Nullfolgen $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ geben, so dass einige Folgenglieder innerhalb der $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung sind, dann für einige größere Indizes wieder nicht und wiederum später dann wirklich alle aufeinander folgenden drin sind - Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1+(-1)^n}{2^n} \end{eqnarray*}$ .

Da ist $\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$ für alle ungeraden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , d.h. die sind von Anfang an in jeder $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung der 0, was aber wenig nützt in Hinblick auf Konvergenz. Also kann man dieses Prinzip "die Ungleichung lösen" i.a. vergessen, das klappt nur in ganz einfachen Fällen.

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11.03.2014, 19:50

le_Foo

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Zitat:

Da ist $\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$ für alle ungeraden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , d.h. die sind von Anfang an in jeder $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung der 0, was aber wenig nützt in Hinblick auf Konvergenz. Also kann man dieses Prinzip "die Ungleichung lösen" i.a. vergessen, das klappt nur in ganz einfachen Fällen.

@HAL 9000: Verstehe ich dich richtig: Du willst mir damit sagen dass ich im Allgemeinen für den Beweis der Konvergenz von Folgen bessere "Werkzeuge" verwenden soll?

11.03.2014, 20:42

HAL 9000

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Ich will dich eigentlich nur von der "Fixierung" befreien, das ganze als Ungleichungslösung zu betrachten.

11.03.2014, 21:22

le_Foo

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Ok, das versteh ich. Aber wenn die Aufgabenstellung lautet dass ich ein N(Epsilon) ... finden soll, dann muss ich wohl mit Umformungen in dieser Art arbeiten. Oder habe ich da eine Alternative?

12.03.2014, 13:09

HAL 9000

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Umformen ja, aber (außer in trivialen Fällen) nicht die Originalfolge, sondern eine Majorantenfolge, die von so einfacher Struktur ist, dass die Umformung auch problemlos gelingt - anderes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{n^5-3n^4+1} \end{eqnarray*}$

Da kannst du etwa für $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ abschätzen

$\begin{eqnarray*} n^5-3n^4+1 > (n-3)n^4 \geq n^4 \end{eqnarray*}$ ,

es gilt somit $\begin{eqnarray*} a_n < \frac{1}{n^4} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ und somit ist für diese $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ das Bestehen von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^4}< \varepsilon \end{eqnarray*}$ hinreichend für $\begin{eqnarray*} a_n < \varepsilon \end{eqnarray*}$ , was dann zu $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) > \max\left\{ \frac{1}{\sqrt[4]{\varepsilon}}, 4 \right\} \end{eqnarray*}$ führt.

Beim exakten Lösen der Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^5-3n^4+1} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ ohne ähnliche Abschätzungskniffe dürftest du dagegen arge Probleme bekommen.

12.03.2014, 18:21

le_Foo

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@HAL 9000: Deine Erklärung hat mir sehr geholfen. Danke smile

smile

Diese Problemlösungsstrategien scheinen ja das "Geheimwissen" zu sein um mathematische Aufgabenstellungen zu lösen. In meinen Büchern finde ich dazu nur die allgemeinen Definitionssätze zu (in diesem Fall) Folgen usw. Daneben steht dann nur noch ein triviales Beispiel, so dass das Buch zur Lösung der Übungsaufgaben fast nutzlos ist.

Kennt jemand ein Buch das diese Art von Lösungsstrategien gut erklärt?

12.03.2014, 18:33

360°

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Kleine Anmerkung: In der vierten Zeile von HAL 9000's letztem Post sollte a_n durch b_n ersetzt werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.03.2014, 18:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von 360°
Kleine Anmerkung: In der vierten Zeile von HAL 9000's letztem Post sollte a_n durch b_n ersetzt werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke - das kommt davon, wenn man am Ende des Beitrags den Anfang schon wieder vergessen hat. Teufel

Teufel

12.03.2014, 20:57

le_Foo

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Sorry für das sudern vorher, Mathe kann manchmal recht frustrierend sein ^^.

Mal schauen ob ich das mit dem Abschätzen richtig verstanden habe:

Angabe: Man zeige, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ uneigentlich konvergiert, indem man zu jedem A>0 ein N(A) angebe, sodass für n > N(A) immer $\begin{eqnarray*} a_n > A \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> a_n = \frac{n^3 + 1}{n - 1}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Ich versuche also einen Index N(A) zu finden ab dem alle Folgenglieder größer als meine Schranke sind.

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{n^3 + 1}{n - 1} > A<br /> \end{eqnarray*}$

Da A größer als ein bestimmtes Folgenglied sein soll, muss A auch größer als ein noch größeres Folgenglied sein. Dh ich kann durch Abschätzen auch auf größere Folgen umformen.

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{n^3 *n}{n} > \frac{n^3 + 1}{n - 1} > A<br /> \end{eqnarray*}$

Und dadurch komme ich dann auf:
$\begin{eqnarray*} N(A) = \sqrt[3]{A} \end{eqnarray*}$

Schaut das soweit richtig aus oder habe ich beim Abschätzen einen zu großen Sprung genommen?

12.03.2014, 23:26

HAL 9000

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Ok, nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} A=27 \end{eqnarray*}$ : Dann sagst du $\begin{eqnarray*} N(27) = \sqrt[3]{27} = 3 \end{eqnarray*}$ .

Nun ist aber $\begin{eqnarray*} a_3 = 14 \end{eqnarray*}$ gewiss nicht größer als 27. unglücklich

unglücklich

Denk also nochmal drüber nach, in welche Richtung du abzuschätzen hast - das hast du nämlich erneut falsch gesehen.

12.03.2014, 23:48

le_Foo

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*facepalm* ... falsche Richtung.

Versuch 2:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{n^3+1}{n-1} > \frac{n^3}{n} > A<br /> \end{eqnarray*}$

Und daher:
$\begin{eqnarray*} <br /> N(A) = \lceil \sqrt {A} \rceil<br /> \end{eqnarray*}$

Für A = 27 => N(27) = 6

und a_6 = 43,4 und damit größer als meine Schranke.

12.03.2014, 23:52

HAL 9000

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Ja, so stimmt's.

12.03.2014, 23:54

le_Foo

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Puh ... schwere Geburt.

@HAL 9000: Danke für deine Geduld und Hilfe smile

smile

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