Beweis: Vereinigung von Mengen bei einer Abbildung

11.03.2014, 20:36	julius976	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Vereinigung von Mengen bei einer Abbildung Hallo, mein erneuter Versuch eines Beweises: Es seien $\begin{eqnarray} X, Y \end{eqnarray}$ Mengen, f eine Abbildung $\begin{eqnarray} f: X->Y \end{eqnarray}$ , I eine Indexmenge und $\begin{eqnarray} A_{a} \subset Y \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a \in I \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie: $\begin{eqnarray} f^{-1}~(\bigcup_{a \in I}~A_{a})~=~\bigcup_{a \in I}~f^{-1}(A_{a}) \end{eqnarray}$ Mein Beweis: $\begin{eqnarray} <br /> \forall x \in f^{-1}~(\bigcup_{a \in I}~A_{a})<br /> <br /> \exists y \in \bigcup_{a \in I}~A_{a}~:~x=~ f^{-1}(y)\Rightarrow<br /> <br /> \exists a_{0} \in I : \exists y \in A_{a_{0}} : x=~ f^{-1}(y)\Rightarrow<br /> <br /> x \in A_{0} \vee x \in A_{1} \vee ... \vee x \in A_{n-1} \Rightarrow~~(Wenn~I~=~{0,1,2,3,n})\Rightarrow<br /> <br /> x \in ~\bigcup_{a \in I}~f^{-1}(A_{a})<br /> \end{eqnarray}$ Passt das einigermaßen? Wenn nicht, warum? Wie schreibe ich die Zeile wo ich mir I als 0,1,2,3 zurechtlege richtig? Kann ich sie einfach weglassen? Danke schon mal Julius
12.03.2014, 17:09	julius976	Auf diesen Beitrag antworten »
Wirklich niemand?
12.03.2014, 17:37	360°	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist aber einiges durcheinander geraten: Warum nimmst du auf einmal an, dass die Indexmenge endlich ist? Sie könnte auch überabzählbar sein. Der Schluss von der ersten auf die zweite Zeile ist für mich unverständlich! Lies dir nochmal die Defintion des Urbildes durch. Und selbst wenn das alles stimmen würde, dann fehlt noch die andere Richtung.
12.03.2014, 18:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist nicht alles falsch, was du machst. Aber so, wie es da steht, würde ich es nicht gelten lassen. Gleich etwas vorweg: Gewöhne dir ab, mathematische Aussagen mit Zeichen für Quantoren zu überladen. Anfänger haben da manchmal einen Heidenspaß, mit diesen geheimnisvollen Zeichen einen gleichsam magischen Zauber zu entfalten. Aber leider ist es oft ein falscher Zauber, der unter dem strengen Blick des Mathematikers schnell in sich zusammenfällt und nichts hinterläßt als logische Wüste. Grundsätzlich gilt: So wenig Quantorenzeichen wie möglich verwenden. Lieber die Quantoren in Worten der mathematischen Umgangssprache ausdrücken. Diese Zeichen sind hauptsächlich dafür da, in der mathematischen Grundlagenforschung, etwa der mathematischen Logik und der Mengenlehre, mit Hilfe einer strengen Zeichensprache die Grenzen des mathematischen Universums zu erkunden. Auch mag es Bereiche in der mengentheoretischen Topologie geben, wo man ohne Quantoren nicht mehr auskommt. Aber nicht hier im Elementarbereich. Da schadet das nur. Den Hauptfehler sehe ich in der Verwendung von $\begin{eqnarray} f^{-1}(y) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} f^{-1}(y^{}) \end{eqnarray}$ mit Elementen $\begin{eqnarray} y,y^{} \in Y \end{eqnarray}$ . Dies unterstellt die Existenz einer Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} f^{-1}: Y \to X \end{eqnarray}$ . Auch wenn dasselbe Zeichen verwendet wird: das ist hier ausdrücklich nicht gemeint. Vielmehr wird $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ auf Mengen angewandt und bedeutet "Urbild der Menge". Die genaue Definition: Für eine Teilmenge $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f^{-1}(B) = \left\{ \, x \in X \, \left\| \, f(x) \in B \, \right. \right\} \end{eqnarray}$ Und hier kommt rechts nirgendwo ein $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ vor. Nur von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ ist da die Rede. Jetzt zur Aufgabe. Ein Standardverfahren, um die Gleichheit zweier Mengen nachzuweisen, ist es zu zeigen, daß jede Menge Teilmenge der andern ist. Man kann das tun, indem man ein beliebiges Element der ersten Menge nimmt und nachweist, daß es auch in der zweiten liegt. Und ebenso umgekehrt. Machen wir es hier genauso. Wir nehmen ein beliebiges $\begin{eqnarray} x \in f^{-1} \left( \bigcup_{a \in I} A_a \right) \end{eqnarray}$ . (Und du siehst, dein erster Allquantor wird hier in der Formulierung "ein beliebiges" untergebracht. Der Vorteil dieser Sichtweise ist, daß man jetzt ein konkretes Objekt vor sich hat, mit dem man hantieren kann.) Nach der Definition von $\begin{eqnarray} f^{-1}(B) \end{eqnarray}$ oben heißt das für dieses $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f(x) \in \bigcup_{a \in I} A_a \end{eqnarray}$ In einer Vereinigung liegt ein Element aber dann, wenn es in mindestens einer der Mengen, die vereinigt werden, liegt. Es muß daher ein $\begin{eqnarray} a_0 \in A \end{eqnarray}$ geben (hier also dein Existenzquantor) mit $\begin{eqnarray} f(x) \in A_{a_0} \end{eqnarray}$ Und jetzt mach einmal weiter. Wie gesagt: dein Kerngedanke stimmt. Vermeide Zeichen für Quantoren. Verwende deutsche Wörter.
12.03.2014, 19:39	julius976	Auf diesen Beitrag antworten »
...daraus folgt dann, dass für dieses x gilt $\begin{eqnarray} x \in f^{-1}~(A_{0}) \end{eqnarray}$ . Also befident sich jedes x in einer der Mengen von $\begin{eqnarray} f^{-1}~(A_{a}) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x \in \bigcup_{a \in I} f^{-1}~(A_{a}) \end{eqnarray}$ . Angenommen war ja $\begin{eqnarray} x \in f^{-1}~( \bigcup_{a \in I}A_{a}) \end{eqnarray}$ , deshalb gilt $\begin{eqnarray} f^{-1}~( \bigcup_{a \in I}A_{a}) \subset \bigcup_{a \in I} f^{-1}~(A_{a}) \end{eqnarray}$ . Jetzt muss ich noch zeigen dass $\begin{eqnarray} \bigcup_{a \in I} f^{-1}~(A_{a}) \subset f^{-1}~( \bigcup_{a \in I}A_{a}) \end{eqnarray}$ . Stimmt das soweit? Auf jedenfall erstmal danke!
12.03.2014, 19:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So stimmt es (kleiner Schreibfehler: $\begin{eqnarray} A_0 \end{eqnarray}$ ). Ein paar Formulierungen kann man noch verbessern (jetzt bin ich schon überpingelig): $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ befindet sich in einer der Mengen $\begin{eqnarray} f^{-1}(A_a) \end{eqnarray}$ ... (nicht "in einer der Mengen von") Weil $\begin{eqnarray} x \in \ldots \end{eqnarray}$ beliebig war ... (nicht "angenommen war ja $\begin{eqnarray} x \in \ldots \end{eqnarray}$ ") Und jetzt dasselbe umgekehrt. Und wenn du feststellst, daß die Rückwärtsrichtung dieselben Haltepunkte anfährt, kannst du im nachhinein auch versuchen, von vorneherein mit äquivalenten Aussagen zu argumentieren.
Anzeige

12.03.2014, 20:21	julius976	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab das jetzt so weitergeführt: Für ein beliebiges $\begin{eqnarray} x \in \bigcup_{a \in I} f^{-1}~(A_a) \end{eqnarray}$ gibt es, da x in einer der vereinigten Mengen vorhanden sein muss wenn x in der Verinigung selber enthalten ist, ein $\begin{eqnarray} a_{0} \in I \end{eqnarray}$ für das gilt: $\begin{eqnarray} x \in f^{-1}~(A_{0}) \end{eqnarray}$ . Aus der Definition des Urbildes $\begin{eqnarray} f^{-1}(B)={x \in X \| f(x) \in B} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} f(x) \in A_{0} \end{eqnarray}$ es gilt also $\begin{eqnarray} x \in f^{-1}(A_{0}) \end{eqnarray}$ . Folglich ist x auch im Urbild der Vereinigung der Indexmenge A enthalten. Also $\begin{eqnarray} x \in f^{-1}~(\bigcup_{a \in I}~A_{a}) \end{eqnarray}$ und weil x beliebig angenommen war folgt: $\begin{eqnarray} \bigcup_{a \in I}~f^{-1}(A_{a}) \subset f^{-1}~(\bigcup_{a \in I}~A_{a}) \end{eqnarray}$ Stimmts? Wo ist denn der Schreibfehler? Danke!! Julius

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »